EDB — 01P

Esercizi

1. [01P] (Svolto il 2022-11-15) Siano $D,C$ insiemi non vuoti. Una funzione parziale da $D$ in $C$ è una funzione $𝜑:B\to C$ dove $B\subseteq D$. (La definizione di “funzione” è in [1Y6]↺↻).

   Può far comodo pensare alla funzione parziale come a una relazione $\Phi \subseteq D\times C$ tale che, se $(x,a),(x,b)\in \Phi$ allora $a=b$ (si veda [23X]↺↻). Le due nozioni sono equivalenti in questo senso: data $\Phi$ costruiamo il dominio di $𝜑$, che chiameremo $B$, con la proiezione di $\Phi$ sul primo fattore cioè $B=\{x\in D:\exists c\in C,(x,c)\in \Phi \}$, e definiamo $𝜑(x)=c$ come l’unico elemento $c\in C$ tale che $(x,c)\in \Phi$; viceversa $\Phi$ è il grafico di $𝜑$.

   Le funzioni parziali, viste come relazioni $\Phi$, sono naturalmente ordinate per inclusione; equivalentemente $𝜑\le 𝜓$ se $𝜑:B\to C$ e $𝜓:E\to C$ e $B\subseteq E\subseteq D$ e $𝜑={𝜓}_{|B}$.

   Sia ora $U$ una catena, cioè una famiglia di funzioni parziali che è totalmente ordinata secondo l’ordinamento precedentemente dato; vedendo ogni funzione parziale come relazione, sia $\Psi$ l’unione di tutte le relazioni in $U$; mostrate che $\Psi$ è il grafico di una funzione parziale $𝜓:E\to C$, il cui dominio $E$ è l’unione di tutti i domini delle funzioni in $U$, e la cui immagine $I$ è l’unione di tutte le immagini delle funzioni in $U$

   Se inoltre tutte le funzioni in $U$ sono iniettive, mostrate che $𝜓$ è iniettiva.

   Soluzione 1

   [01Q]↺↻