Esercizi
[01P] (Svolto il 2022-11-15) Siano \(D,C\) insiemi non vuoti. Una funzione parziale da \(D\) in \(C\) è una funzione \(𝜑:B→ C\) dove \(B⊆ D\). (La definizione di “funzione” è in [1Y6]).
Può far comodo pensare alla funzione parziale come a una relazione \(Φ⊆ D× C\) tale che, se \((x,a),(x,b)∈ Φ\) allora \(a=b\) (si veda [23X]). Le due nozioni sono equivalenti in questo senso: data \(Φ\) costruiamo il dominio di \(𝜑\), che chiameremo \(B\), con la proiezione di \(Φ\) sul primo fattore cioè \(B=\{ x∈ D : ∃ c∈ C, (x,c)∈Φ\} \), e definiamo \(𝜑(x)=c\) come l’unico elemento \(c∈ C\) tale che \((x,c)∈Φ\); viceversa \(Φ\) è il grafico di \(𝜑\).
Le funzioni parziali, viste come relazioni \(Φ\), sono naturalmente ordinate per inclusione; equivalentemente \(𝜑≤ 𝜓\) se \(𝜑:B→ C\) e \(𝜓:E→ C\) e \(B⊆ E⊆ D\) e \(𝜑=𝜓_{|B}\).
Sia ora \(U\) una catena, cioè una famiglia di funzioni parziali che è totalmente ordinata secondo l’ordinamento precedentemente dato; vedendo ogni funzione parziale come relazione, sia \(Ψ\) l’unione di tutte le relazioni in \(U\); mostrate che \(Ψ\) è il grafico di una funzione parziale \(𝜓:E→ C\), il cui dominio \(E\) è l’unione di tutti i domini delle funzioni in \(U\), e la cui immagine \(I\) è l’unione di tutte le immagini delle funzioni in \(U\)
Se inoltre tutte le funzioni in \(U\) sono iniettive, mostrate che \(𝜓\) è iniettiva.
Soluzione 1