EDB — 090

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[090] Traccia della dimostrazione. Notate che la dimostrazione usa solo gli assiomi di Peano e il principio di induzione. Dato m,m0 ricordiamo che S1(m) è il precedessore, si veda [1YP] (usando l’aritmetica potremmo scrivere

S1(m)=m1  ,  S(k)=k+1

ma questo teorema è usato nel definire l’aritmetica...) Data una qualunque R×A definiamo la proiezione sulla prima componente

𝜋(R)={n,xA,(n,x)R} .

Consideriamo la famiglia F delle relazioni R×A che soddisfano

(*)(0,a)R
2

(**)n0,yA,  (n,y)R(S(n),gn(y))R
3

Mostriamo che sotto queste condizioni 𝜋(R)=; sappiamo che 0𝜋(R); se m𝜋(R), allora esiste xA per cui (m,x)R ma allora da ** segue che (S(m),gm(x))R, e otteniamo S(m)𝜋(R).

La famiglia F è non vuota perché ×AF. Sia poi T l’intersezione di tutte le relazioni in F. T è dunque la minima relazione in F.

Si può verificare che T soddisfa le precedenti proprietà * e **. In particolare 𝜋(T)=.

Dobbiamo ora mostrare che T è il grafico di una funzione (che è la funzione f desiderata), cioè che per ogni n esiste un unico xA per cui (n,x)T.

Sia An={xA,(n,x)T}; scriviamo |An| per indicare il numero di elementi in |An|; siccome 𝜋(T)= allora |An|1 per ogni n. Mostreremo che |An|=1 per ogni n. Lo dimostreremo per induzione. Sia

P(n)|An|=1.

Verifichiamo il passo induttivo.

Supponiamo per assurdo che |Am|=1 ma |ASm|2; moralmente in m il grafico della f “biforca” e la funzione diventa “multivoca”. Definiamo per comodità w=gm(x),k=Sm; potremmo togliere alcuni elementi a T (quelli che non hanno un “predecessore” secondo la relazione **) definendo

T~=T{(k,y):yA,yw}

si mostra che T~ soddisfa * e **, ma T~ sarebbe più piccola di T, contro la minimalità di T. Per provare che P(0), si definisce k=0,w=a e si procede allo stesso modo.

Il precente ragionamento mostra anche che la funzione è unica, perché se il grafico G di una qualsiasi funzione soddisfacente a * e ** deve contenere T, allora T=G.

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