[090] Traccia della dimostrazione. Notate che la dimostrazione usa solo gli assiomi di Peano e il principio di induzione. Dato \(m∈ℕ,m≠ 0\) ricordiamo che \(S^{-1}(m)\) è il precedessore, si veda [1YP] (usando l’aritmetica potremmo scrivere
ma questo teorema è usato nel definire l’aritmetica...) Data una qualunque \(R⊆ ℕ× A\) definiamo la proiezione sulla prima componente
Consideriamo la famiglia \({\mathcal F}\) delle relazioni \(R⊆ ℕ× A\) che soddisfano
Mostriamo che sotto queste condizioni \(𝜋(R)=ℕ\); sappiamo che \(0∈ 𝜋(R)\); se \(m\in 𝜋(R)\), allora esiste \(x∈ A\) per cui \((m,x)∈ R\) ma allora da ** segue che \((S(m),g_{m}(x))∈ R\), e otteniamo \(S(m)∈ 𝜋(R)\).
La famiglia \({\mathcal F}\) è non vuota perché \(ℕ× A∈ {\mathcal F}\). Sia poi \(T\) l’intersezione di tutte le relazioni in \({\mathcal F}\). \(T\) è dunque la minima relazione in \({\mathcal F}\).
Si può verificare che \(T\) soddisfa le precedenti proprietà * e **. In particolare \(𝜋(T)=ℕ\).
Dobbiamo ora mostrare che \(T\) è il grafico di una funzione (che è la funzione \(f\) desiderata), cioè che per ogni \(n\) esiste un unico \(x∈ A\) per cui \((n,x)∈ T\).
Sia \(A_ n=\{ x∈ A, (n,x)∈ T \} \); scriviamo \(|A_ n|\) per indicare il numero di elementi in \(|A_ n|\); siccome \(𝜋(T)=ℕ\) allora \(|A_ n|≥ 1\) per ogni \(n\). Mostreremo che \(|A_ n|=1\) per ogni \(n\). Lo dimostreremo per induzione. Sia
Verifichiamo il passo induttivo.
Supponiamo per assurdo che \(|A_{m}|=1\) ma \(|A_{Sm}|≥ 2\); moralmente in \(m\) il grafico della \(f\) “biforca” e la funzione diventa “multivoca”. Definiamo per comodità \(w=g_{m}(x),k=Sm\); potremmo togliere alcuni elementi a \(T\) (quelli che non hanno un “predecessore” secondo la relazione **) definendo
si mostra che \(\tilde T\) soddisfa * e **, ma \(\tilde T\) sarebbe più piccola di \(T\), contro la minimalità di \(T\). Per provare che \(P(0)\), si definisce \(k=0,w=a\) e si procede allo stesso modo.
Il precente ragionamento mostra anche che la funzione è unica, perché se il grafico \(G\) di una qualsiasi funzione soddisfacente a * e ** deve contenere \(T\), allora \(T=G\).