Esercizi
[093] Sia \(A\) un insieme e sia \(g:A→ A\) iniettiva. Definiamo la relazione \(x∼ y\) che è vera quando si ha un \(n≥ 0\) per cui \(x=g^ n (y)\) oppure \(x= g^ n(y)\); dove
\[ g^ n=\overbrace{g◦ \cdots ◦ g}^ n \]è la \(n\)-esima iterata della composizione. (Decidiamo che \(g^ 0\) è la identità). Mostrate che \(x∼ y\) è una relazione di equivalenza. Studiate le classi di equivalenza. Sia \(U=⋂_{n=1}^∞ g^ n(A)\) l’intersezione delle immagine ripetute. Mostrate che ogni classe è interamente contenuta in \(U\) o ne è esterna.
Soluzione 1