EDB — 0H7

[0H7] Argomenti:frontiera. Sia $A\subset X$. Ricordiamo la definizione di frontiera $\partial A=\bar{A}⧵A^{\circ }$. Si noti che $\partial A$ è chiuso: infatti posto $B=A^c$ il complementare, si verifica facilmente che $\partial A=\bar{A}\cap \bar{B}$. In particolare abbiamo mostrato che $\partial A=\partial B$.

Mostrate che i tre insiemi $\partial A,A^{\circ },B^{\circ }$ sono disgiunti, e che la loro unione è $X$; in particolare mostrate che i tre insiemi sono caratterizzati da queste tre proprietà:

• ogni intorno di $x$ interseca sia $A$ che $B$;

• esiste intorno di $x$ contenuto in $A$;

• esiste intorno di $x$ contenuto in $B$.

(Si veda anche [0Q3]↺↻ per il caso di spazi metrici).