EDB — 0H7

[0H7] Argomenti:frontiera. Sia \(A⊂ X\). Ricordiamo la definizione di frontiera \(∂ A=\overline A⧵ {{A}^\circ }\). Si noti che \(∂ A\) è chiuso: infatti posto \(B=A^ c\) il complementare, si verifica facilmente che \(∂ A=\overline A∩ \overline B\). In particolare abbiamo mostrato che \(∂ A=∂ B\).

Mostrate che i tre insiemi \(∂ A,{{A}^\circ },{{B}^\circ }\) sono disgiunti, e che la loro unione è \(X\); in particolare mostrate che i tre insiemi sono caratterizzati da queste tre proprietà:

• ogni intorno di \(x\) interseca sia \(A\) che \(B\);

• esiste intorno di \(x\) contenuto in \(A\);

• esiste intorno di \(x\) contenuto in \(B\).

(Si veda anche [0Q3]↺↻ per il caso di spazi metrici).