EDB — 0HW

[0HW] Argomenti:ordinamento diretto. Prerequisiti:[06M]↺↻, [06N]↺↻, [06V]↺↻.

Sia \((I,≤)\) un insieme con ordinamento diretto e con un massimo che chiamiamo \(∞\). Chiamiamo \(J=I⧵\{ ∞\} \) e assumiamo che \(J\) sia filtrante (con l’ordinamento indotto) e non vuoto. In questo caso proponiamo una topologia più fine. La topologia \(𝜏\) per \(I\) contiene:

• \(∅,I\);

• gli insiemi \(A\) che contengono una “semiretta”, della forma \(\{ k∈ I : k≥ j\} \), per un \(j{\lt}∞\) (che sono detti “intorni di \(∞\)”);

• i sottoinsiemi di \(I\) che non contengono \(∞\).

Mostrate che \(𝜏\) è una topologia. Questa topologia è Hausdorff? Mostrate che \(∞\) è l’unico punto di accumulazione.