EDB — 0KG

[0KG]Prerequisiti:[0K5]↺↻,[0KC]↺↻.Siano \(X,Y\) spazi topologici Hausdorff. Sia \(f:X→ Y\), \(x_ 0\in X\). Le seguenti affermazioni sono equivalenti.

1. \(f\) è continua in \(x_ 0\);

2. per ogni rete \(φ:J→ X\) tale che

   \[ \lim _{j∈ J} φ(j) = x_ 0 \]

   si ha

   \[ \lim _{j∈ J} f(φ(j)) = f(x_ 0)\quad . \]

Suggerimento per dimostrare che 2 implica 1. Supponiamo che \(x_ 0\) sia punto di accumulazione. Consideriamo l’insieme filtrante \(J\) dato dagli intorni di \(x_ 0\); consideriamo le reti \(φ:J→ X\) con la proprietà che \(φ(U)∈ U\) per ogni \(U∈ J\); notiamo che si ha \(\lim _{j∈ J} φ(j) = x_ 0\).