Esercizi
[0R2] Supponiamo che \(d\) soddisfi tutti i requisiti di distanza salvo che la “proprietà di separazione”; consideriamo la relazione \(∼\) su \(X\) definita come \(x∼ y\iff d(x,y)=0\); mostrate che è una relazione di equivalenza. Definiamo \(Y=X/∼\); mostrate che la funzione \(d\) passa al quoziente, cioè che esiste \(\tilde d:Y× Y→ [0,∞)\) tale che, per ogni scelta di classi \(s,t∈ Y\) e ogni scelta di \(x∈ s,y∈ t\) si ha \(\tilde d(s,t)=d(x,y)\). Mostrate infine che \(\tilde d\) è una distanza su \(Y\).
Questo procedura è l’equivalente in spazi metrici del quoziente di Kolmogoroff.