EDB — 0R5

Esercizi

1. [0R5] Sia \((X,d)\) uno spazio metrico dove \(X\) è anche un gruppo, sia \(Θ\) un sottogruppo.

   Definiamo che \(x∼ y\iff x y^{-1}∈Θ\). Si verifica facilmente che è una relazione di equivalenza. Sia \(Y=X/∼\) lo spazio quoziente. ¹

   Supponiamo che \(d\) sia invariante rispetto alla moltiplicazione a sinistra per elementi di \(Θ\):

   \begin{equation} d(x,y)=d(𝜃 x,𝜃 y)~ ~ ∀ x,y∈ X,∀ 𝜃∈Θ~ ~ . \label{eq:d_ invarian_ grupp} \end{equation}

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   (Questo equivale a dire che, per ogni fissato \(𝜃∈Θ\) la mappa \(x↦ 𝜃 x\) è una isometria). Definiamo la funzione \(𝛿:Y^ 2→ℝ\) come in [(9.57)]↺↻.

   • Mostrate che, prese \(s,t∈ X\), si ha

     \begin{equation} 𝛿([s],[t]) = \inf \{ d(s,𝜃 t) : 𝜃 ∈ Θ \} \label{eq:dist_ quoz_ 1gruppo} \end{equation}

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     dove \([s]\) è la classe di elementi equivalenti a \(s\).

   • Mostrate che \(𝛿≥ 0\), che \(𝛿\) è simmetrica e che \(𝛿\) soddisfa la disuguaglianza triangolare.

   • Supponiamo che, per ogni fissato \(t∈ X\), la mappa \(𝜃↦ 𝜃 t\) sia continua da \(Θ\) a \(X\); supponiamo inoltre che \(Θ\) sia chiuso: allora \(𝛿\) è una distanza. ²

   Soluzione 1

   [0R6]↺↻