Esercizi
[0VD]Sia dato uno spazio metrico \((X,d)\). Come già in [0NW] definiamo il disco \(D(x,\varepsilon ){\stackrel{.}{=}}\{ y∈ X, d(x,y)≤ \varepsilon \} \) (che è chiuso). Diciamo che \((X,d)\) è localmente compatto se per ogni \(x∈ X\) esiste \(\varepsilon {\gt}0\) tale che \(D(x,\varepsilon )\) è compatto. Considerate questa proposizione.
«Proposizione Uno spazio metrico localmente compatto è completo. Dimostrazione Sia \((x_ n)_ n⊂ X\) una successione di Cauchy, allora definitivamente i suoi termini distano al più \(\varepsilon \), dunque sono contenuti in una piccolo disco compatto, dunque esiste una sottosuccessione che converge, e allora per il risultato [0N8] tutta la successione converge. q.e.d. »Se secondo voi la proposizione è vera, riscrivete la dimostrazione in modo rigoroso. Se secondo voi è falsa, trovate un controesempio.
Soluzione 1