EDB — 17D

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E14

[17D] Argomenti:proiezione.Difficoltà:*. Note:Questo è il noto “teorema della proiezione”, che vale per \(A\) convesso chiuso in uno spazio di Hilbert; se \(A⊂ ℝ^ n\) allora la dimostrazione è più semplice, e è un utile esercizio..

Dato \(A⊂ ℝ^ n\) chiuso convesso nonvuoto e \( z∈ ℝ^ n\), si mostri che esiste un unico punto di minimo \(x^*\) per il problema

\[ \min _{x∈ A} \| z-x\| ~ . \]
Si mostri che \(x^*\) è il minimo se e solo se
\[ ∀ y∈ A , ⟨ z-x^*, y-x^* ⟩≤ 0 ~ ~ . \]
\(x^*\) è chiamato “la proiezione di \(z\) su \(A\)”.
\includegraphics[width=0.9\linewidth ]{UUID/1/7/F/blob_zxx}

(Notate che quest’ultima condizione dice semplicemente che l’angolo deve essere ottuso).

Soluzione 1

[17G]

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Authors: "Mennucci , Andrea C. G." .
Bibliography
Book index
  • proiezione, teorema della ---
  • teorema, della proiezione
  • funzione, convessa
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