Esercizi
[188] Argomenti:sottodifferenziale.Prerequisiti:[184].Difficoltà:*.
Sia \(C⊆ ℝ^ n\) un convesso aperto, e \(f:C→ℝ\) una funzione convessa; dato \(z∈ C\), si definisce il sottodifferenziale \(∂ f(z)\) come l’insieme dei \(v\) per cui la relazione [(14.24)] vale (cioè, \(∂ f(z)\) contiene i vettori \(v\) usati per definire i piani di supporto a \(f\) in \(z\)).
\(∂ f(z)\) gode di interessanti proprietà.
\(∂ f(z)\) è localmente limitato: se \(z∈ C\) e \(r{\gt}0\) è tale che \(B(z,2r)⊂ C\) allora esiste \(L{\gt}0\) tale che \(∀ y∈ B(z,r)\), \(∀ v∈ ∂ f(x)\) si ha \(|v|≤ L\). In particolare, per ogni \(z∈ C\) si ha che \(∂ f(z)\) è un insieme limitato.
Mostrate che \(∂ f\) è continua superiormente in questo senso: se \(z∈ C\) e \((z_ n)_ n⊂ C\) e \(v_ n∈∂ f(z_ n)\) e se \(z_ n→_ n z\) e \(v_ n→_ n v\) allora \(v∈∂ f(z)\). In particolare, per ogni \(z∈ C\), \(∂ f(z)\) è un insieme chiuso.
Soluzione 1