Esercizi
[1DT] Cosa si può mettere al posto di "???" in modo che la funzione
\[ g(x) = \begin{cases} ??? & \text{se}~ ~ ~ 0{\lt}x{\lt}1~ , \\ {} 1 & \text{se}~ ~ x≥ 1 ~ ,\\ {} 0 & \text{se}~ ~ x≤ 0~ . \end{cases} \]sia di classe \(C^∞\)?
Più in generale, come si possono raccordare due funzioni \(C^∞\) in modo da ottenere una funzione \(C^∞\)? Date \(f_ 0,f_ 1∈ C^∞\) mostrate 1 che esiste una funzione \(f∈ C^∞\) che soddisfa
\begin{eqnarray*} f(x) = f_ 0(x)& \text{se}~ ~ ~ x≤ 0 \quad ,\\ {} f(x) = f_ 1(x)& \text{se}~ ~ ~ x≥ 1 \quad . \end{eqnarray*}Soluzione 1