Esercizi
[1PX]Note:esercizio 4, compito 20 Giugno 2017.
Sia \(F\) un campo vettoriale continuo su \(ℝ^ n ⧵ \{ 0\} \), tale che, per ogni \(x ≠ 0\), \(F (x)\) è un multiplo scalare di \(x\). Per \(r {\gt} 0\), indichiamo con \(S_ r\) la sfera di raggio \(r\) centrata in \(0\).
Si dimostri che, per ogni arco regolare \(γ\) con sostegno contenuto in una sfera \(S_ r\) , si ha \(∫_γ F = 0\).
Si dimostri che, se un tale campo \(F\) è conservativo, allora \(|F (x)|\) è costante su ogni sfera \(S_ r\), e dunque che \(F(x)=x𝜌(|x|)\) con \(𝜌:ℝ^ n ⧵ \{ 0\} →ℝ\) continua.
Soluzione 1