EDB — 1RK

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E16

[1RK] Discutete l’equazione differenziale

{y′(x)=1y(x)−x2y(0)=a

per a≠0, studiando in modo qualitativo l’esistenza (locale o globale) delle soluzioni, e le proprietà di monotonia e convessità/concavità. 1

Mostrate che la soluzione esiste per tutti i tempi positivi.

Mostrate che per a>0 la soluzione non si estende a tutti i tempi negativi.

Difficoltà:*.Mostrate che esiste un a~<0 critico tale che, per a~<a<0 la soluzione non si estende a tutti i tempi negativi, mentre per a≤a~ la soluzione esiste per tutti i tempi negativi; inoltre per a=a~ si ha limx→−∞y(x)−x2=0.

\includegraphics[width=0.9\linewidth ]{UUID/1/R/M/blob_zxx}

In viola a puntini la linea dei flessi. In rosso tratteggiato la parabola dove la derivata della soluzione è infinita. In giallo le soluzioni con dati iniziali y(0)=2, y(0)=1, y(0)=1/1000.

Figure 9 Esercizio 5. Soluzioni per a>0

\includegraphics[width=0.9\linewidth ]{UUID/1/R/N/blob_zxx}

In viola a puntini la linea dei flessi. In rosso tratteggiato la parabola dove la derivata della soluzione è infinita. Sono disegnate le soluzioni con dati iniziali a=−1,4 (“verde”), a=−1,0188 (“arancione”)e a=−1,019 (“gialla”). Notate che queste ultime si differenziano solo per 0,0002 come dati iniziali, sono indistinguibili nel grafico per x>−1, ma poi per x<−1 si allontanano velocemente, e per x=−2 valgono rispettivamente 3,25696 e 2,54856, con una differenza di circa 0,7 !

Figure 10 Esercizio 5. Soluzioni per a<0

Soluzione 1

[1RP]

  1. L’equazione differenziale è tratta dall’esercizio 13 in [ 2 ] .
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Authors: "Mennucci , Andrea C. G." .
Bibliography
  • [2] Emilio Acerbi, Luciano Modica, and Sergio Spagnolo. Problemi scelti di Analisi Matematica II. Liguori Editore, 1986. ISBN 88-207-1484-1.

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