- E4
[1RK] Discutete l’equazione differenziale
\[ \begin{cases} y’(x)=\frac 1{y(x)-x^ 2}\\ y(0)=a \end{cases} \]per \(a≠ 0\), studiando in modo qualitativo l’esistenza (locale o globale) delle soluzioni, e le proprietà di monotonia e convessità/concavità. 1
Mostrate che la soluzione esiste per tutti i tempi positivi.
Mostrate che per \(a{\gt}0\) la soluzione non si estende a tutti i tempi negativi.
Difficoltà:*.Mostrate che esiste un \(\tilde a{\lt}0\) critico tale che, per \(\tilde a{\lt}a{\lt}0\) la soluzione non si estende a tutti i tempi negativi, mentre per \(a≤ \tilde a\) la soluzione esiste per tutti i tempi negativi; inoltre per \(a=\tilde a\) si ha \(\lim _{x→-∞} y(x)-x^ 2=0\).
![\includegraphics[width=0.9\linewidth ]{UUID/1/R/M/blob_zxx}](/UUID/EDB/1RK/html/images/img-0001.png)
Figure 9 Esercizio 5. Soluzioni per \(a{\gt}0\) In viola la linea dei flessi. In rosso la parabola dove la derivata della soluzione è infinita. In giallo le soluzioni con dati iniziali \(y(0)=2\), \(y(0)=1\), \(y(0)=1/1000\).
![\includegraphics[width=0.9\linewidth ]{UUID/1/R/N/blob_zxx}](/UUID/EDB/1RK/html/images/img-0002.png)
Figure 10 Esercizio 5. Soluzioni per \(a{\lt}0\) In viola la linea dei flessi. In rosso la parabola dove la derivata della soluzione è infinita. Sono disegnate le soluzioni con dati iniziali \(a=-1,4\) (“verde”), \(a=-1,0188\) (“arancione”) e \(a=-1,019\) (“gialla”). Notate che queste ultime si differenziano solo per \(0,0002\) come dati iniziali, sono indistinguibili nel grafico per \(x{\gt}-1\), ma poi per \(x{\lt}-1\) si allontanano velocemente, e per \(x=-2\) valgono rispettivamente \(3,25696\) e \(2,54856\), con una differenza di circa \(0,7\) !
Soluzione 1
EDB — 1RK
Vista
Italiano
Autori:
"Mennucci , Andrea C. G."
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Bibliografia
Indice analitico
- [2] Emilio Acerbi, Luciano Modica, and Sergio Spagnolo. Problemi scelti di Analisi Matematica II. Liguori Editore, 1986. ISBN 88-207-1484-1.
Indice analitico
- ODE
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