Proposizione
20
[208](Svolto il 2022-11-24) Sia dunque \(A⊆ℝ\) non vuoto, sia \(l ∈ ℝ ∪ \{ +∞\} \); si possono facilmente dimostrare le seguenti proprietà:
|
\(\sup A ≤ l\) |
\(∀ x∈ A,x≤ l\) |
|
\(\sup A {\gt} l\) |
\(∃ x∈ A,x{\gt} l\) |
|
\(\sup A {\lt} l\) |
\(∃ h{\lt}l , ∀ x∈ A,x≤ h\) |
|
\(\sup A ≥ l\) |
\(∀ h{\lt}l, ∃ x∈ A,x{\gt} h\) |
la prima e la terza derivano dalla definizione di estremo superiore,
1
la seconda e la quarta per negazione; nella terza si può concludere equivalentemente che \(x{\lt}h\), e nella quarta che \(x≥ h\).
Se \(l≠ +∞\) allora usa anche scrivere (sostituendo \(h=l-\varepsilon \))
|
\(\sup A {\lt} l\) |
\(∃ \varepsilon {\gt}0 , ∀ x∈ A,x≤ l-\varepsilon \) |
|
\(\sup A ≥ l\) |
\(∀ \varepsilon {\gt}0, ∃ x∈ A,x{\gt} l-\varepsilon \) |