Definizione
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[20F] Sia \(I⊂ ℝ\), \(x_ 0∈ \overline{ℝ}\) punto di accumulazione di \(I\), \(f:I→ ℝ\) funzione. Si definiscono
\begin{align} \limsup _{x→ x_ 0} f(x) = \inf _{U \text{intorno di } x_ 0}~ \sup _{x∈ U∩ I} f(x) \label{eq:limsup_ R}\\ \liminf _{x→ x_ 0} f(x) = \sup _{U \text{intorno di } x_ 0}~ \inf _{x∈ U∩ I} f(x) \label{eq:liminf_ R} \end{align}
dove il primo “inf” (risp. il “sup”) si esegue rispetto alla famiglia di tutti gli intorni \(U\) di \(x_ 0\) (sempre del tipo “col buco”); e gli intorni saranno destri o sinistri se il limite è destro o sinistro.