EDB — 23Y

[23Y]

• Supponiamo che le curve nel piano siano descritte dall’equazione in forma implicita \(F(x,y,a)=0\); cioè, fissato il parametro \(a\), la curva è il luogo

  \[ \{ (x,y) : F(x,y,a)=0\} \quad ; \]

  allora l’inviluppo si ottiene ricavando la \(a\) dalla equazione \(\frac{\partial ~ }{\partial {a}} F(x,y,a)=0\) e sostituendola nella \(F(x,y,a)=0\).

• Per semplicità, consideriamo curve che sono funzioni dell’ascissa. Sia \(y=f(x,a)=f_ a(x)\) una famiglia di funzioni, con \(x∈ I,a∈ J\) (intervalli aperti), allora \(y=g(x)\) è l’inviluppo di \(f_ a\) se il grafico di \(g\) è coperto dall’unione dei grafici delle \(f_ a\) e la curva \(g\) è tangente a ogni \(f_ a\) laddove la tocca; più precisamente, per ogni \(x∈ I\) esiste \(a∈ J\) per cui \(g(x)=f(x,a)\), e inoltre, per ogni scelta di \(a\) che soddisfa \(g(x)=f(x,a)\), si ha \(g'(x)=f'(x,a)\).