Proposizione
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[27P](Replaces 27Y) L’addizione è commutativa.
Proof
Per il lemma possiamo scrivere
\begin{equation} S(h) + n = S(h+n)= h + S(n)\label{eq:Shn_ hSN} \end{equation}
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intuitivamente la formula è simmetrica e dunque anche la definizione di addizione deve avere una simmetria. Precisamente, sia \(\tilde f_ n(h){\stackrel{.}{=}}f_ h(n)\) allora \(\tilde f_ n(0)=n\) (come già notato) e per il lemma [27N] \(\tilde f_ n(S(h))=S\Big(\tilde f_ n(h)\Big)\) ma allora \(\tilde f\) soddisfa la stessa relazione ricorsiva di \(f\) e dunque sono identiche, così \(f_ h(n)=f_ n(h)\). (L’idea è che se avessimo definito la addizione ricorsivamente partendo da sinistro invece che da destra, avremmo raggiunto lo stesso risultato).