Definizione
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[292]Fissato il parametro \(h∈ ℕ\) cominciamo col definire l’operazione \(h+⋅\) che sarà una funzione \(f_ h : ℕ→ℕ \) data da \(f_ h(n)=h+n\); per la definizione ricorsiva vorremo esprimere le regole
\( h+0=h\) ,
\(∀ n∈ ℕ, h+S(n)=S(h+n)\) .
A questo scopo, poniamo \(A=ℕ\), e \(g(n,a)=S(a)\), riscriviamo le precedenti come regole ricorsive per \(f_ h\)
\( f_ h(0)=h\) ,
\(∀ n∈ ℕ, f_ h(S(n))=g(n,f_ h(n))=S(f_ h(n))\) .
questo definisce ricorsivamente \(f_ h\). Considerando poi il parametro \(h\) come una variabile, abbiamo costruito l’operazione di addizione, e definiamo l’operazione “+” fra naturali come \(h+n=f_ h(n)\).