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[016]Come già commentato in [00R], dato \(A\) un insieme, e \(P(x)\) una proposizione logica dipendente da una variabile libera \(x\), usa scrivere
\[ ∀ x∈ A, P(x)\quad ,\quad ∃ x∈ A, P(x) \]però
\[ ∀ x∈ A, P(x)~ ~ \text{riassume} ~ ~ ∀ x, (x ∈ A) ⇒ P(x)~ ~ , \]\[ ∃ x∈ A, P(x)~ ~ \text{riassume} ~ ~ ∃ x, (x ∈ A) ∧ P(x)~ ~ ; \]laddove le versioni “estese” sono formule ben formate.
Usando questa scrittura estesa dimostrate che le due proposizioni
\[ ¬(∀ x∈ A, P(x))~ ~ ,~ ~ ∃ x∈ A, (¬ P(x))~ ~ . \]sono equivalenti, nel senso che da una è possibile dimostrare l’altra (e viceversa). Nella dimostrazione usate solo le tautologie (elencate in [00N]) e in particolare l’equivalenza della formula “\(P⇒ Q\)” con “\((¬ P)∨ Q\)” 1 , e infine l’equivalenza fra “\(¬ ∃ x, Q\)” e “\(∀ x, ¬ Q\)” 2 .
Sostituendo poi \(P(x)\) con \(¬ P(x)\) e usando la tautologia della doppia negazione si ottiene infine che
\[ ∀ x∈ A, (¬ P(x))~ ~ ,~ ~ ¬(∃ x∈ A, P(x))~ \]sono equivalenti.
Soluzione 1
EDB — 016
Vista
Italiano
Autori:
"Mennucci , Andrea C. G."
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