EDB — 02H

[02H]Prerequisiti:[01M]↺↻, [026]↺↻,[020]↺↻ . Sia \(I\) un insieme non vuoto di indici, sia \(A_ i\) una famiglia di insiemi non vuoti indicizzata da \(i∈ I\). Ricordiamo che, per definizione, il prodotto cartesiano \(∏_{i∈ I}A_ i\) è l’insieme delle funzioni \(f:I→ ⋃_{i∈ I}A_ i\) tali che \(f(i)∈ A_ i\) per ogni \(i∈ I\).

Mostrate che le seguenti sono formulazioni equivalenti dell’assioma della scelta.

• Il prodotto cartesiano di una famiglia non vuota di insiemi non vuoti è non vuoto.

• Data una famiglia \(A_ i\) come sopra, tale che gli insiemi sono non vuoti, e a due a due disgiunti, esiste un sottoinsieme \(B\) di \(⋃_{i∈ I}A_ i\) tale che, per ogni \(i∈ I\), \(B∩ A_ i\) contenga un unico elemento.

• Sia \(S\) un insieme, allora esiste una funzione \(g: {\mathcal P}(S) \to S\) tale che \(g(A) \in A\) per ogni \(A \in {\mathcal P}(S)\) non vuoto.