3.2 Teoria degli insiemi[1YT]

Teoria degli insiemi elementare[242]

Come già spiegato nella Definizione 24, nella teoria degli insiemi si aggiunge il connettivo “\(\in \)” ; dati due insiemi \(z,y\) la formula \(x\in y\) si legge “\(x\) appartiene a \(y\)” o più semplicemente “\(x\) è in \(y\)”, e indica che \(x\) è un elemento di \(y\).

È uso indicare gli insiemi usando come variabili lettere Italiane maiuscole.

[226]Questo dice che due insiemi \(a\) e \(b\) sono uguali quando hanno gli stessi elementi; cioè, esclude che un insieme possa avere qualche altra proprietà che lo contraddistingue  ¹ .

Si scrive usualmente \(x\notin y\) per \(\lnot (x\in y)\), \(x\nsubseteq y\) per \(\lnot (x\subseteq y)\) e così via.

Viene inoltre definita la costante \(\emptyset \) indicato anche come \(\{ \} \) che è l’insieme vuoto, ² caratterizzato da

Si dimostra che l’insieme vuoto è unico.

Si introducono dunque alcune concetti fondamentali: unione, intersezione, differenza simmetrica, insieme potenza, prodotto cartesiano, relazioni, funzioni etc.

L’insieme potenza è definito come in 5.

E33

[1W6](Proposto il 2022-10-11) Dimostrate che \(A=B\) se e solo se \(((A⊆ B) ∧ (B⊆ A) )\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1W7’]

E33

[1W8]Rappresentate le operazioni

• \(∪\) unione

• \(∩\) intersezione

• \(\setminus \) differenza

• \(Δ\) differenza simmetrica

fra due insiemi usando diagrammi di Venn.

E33

[1W9]Prerequisiti:2.Usate i precedenti diagrammi di Venn per mostrare che in generale \((A∪ B)∩ C ≠ A∪ (B∩ C)\).

E33

[1WB] Mostrate che se \(X⊆ Y\) e \(Y⊆ Z\) allora \(X⊆ Z\) Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1WD’]

E33

[1W2]Spiegate perché l’operazione di unione \(A∪ B\) fra due insiemi è commutativa, e mostrate che è associativa; similmente per la intersezione; infine mostrate che l’unione distribuisce rispetto all’intersezione, e anche che l’intersezione distribuisce rispetto all’unione. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1W3’]

E33

[1WF](Proposto il 2022-12) Considerate gli insiemi:

• \(P\) l’insieme dei professori,

• \(S\) l’insieme degli scienziati,

• \(F\) l’insieme dei filosofi,

• \(M\) l’insieme dei matematici.

Per ognuna delle seguenti frasi, scrivete una formula che la rappresenti, usando gli insieme soprascritti, l’insieme vuoto, le relazioni \(⊆,=,≠\), e le operazioni insiemistiche \(∪,∩,⧵\).

• non tutti i professori sono scienziati

• qualche matematico è filosofo;

• se un filosofo non è matematico allora è professore;

• tutti i filosofi sono scienzati o professori, ma non matematici;

• se c’è un matematico che è anche scienziato, allora non è né filosofo né professore.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1WG’]

E33

[1Y4]Sia \(U\) l’insieme degli esseri umani, \(A\) l’insieme degli animali e \(M\) l’insieme delle creature mortali; trasformate il seguente sillogismo in formule e dimostratelo:

ogni uomo è un animale, ogni animale è mortale, dunque ogni uomo è mortale.

E33

[1WC] Spiegate la formula \(⋃_{B∈{\mathcal P}(A)} B\) avendo a disposizione la definizione 31 dell’assioma dell’unione. Poi mostrate che \(A=⋃_{B∈{\mathcal P}(A)} B\).

Si veda anche 5 dove lo stesso risultato si ottiene partendo dall’assioma dell’unione come definito in 4 nell’assiomatica di Zermelo–Fraenkel.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1WV’]

E33

[24P]Sia \(I,C_ i\) come in 31 e sia \(A\) un insieme; dimostrare che

\[ ⋃_{i∈ I}C_ i \subseteq A \]

se e solo se 

\[ \forall {i∈ I} , ~ C_ i \subseteq A~ . \]

Mentre nella teoria formale tutto gli elementi del linguaggio sono insiemi, nella pratica si tende a distinguere fra gli insiemi, e gli altri oggetti della Matematica (numeri, funzioni, etc etc); per questo nel seguito useremo in genere le lettere maiuscole per indicare gli insiemi, e le lettere minuscole per indicare altri oggetti.

Assiomi di Zermelo–Fraenkel[241]

Vediamo ora brevemente gli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo–Fraenkel.

1. Assioma di estensionalità, già visto sopra in 28.

2. [014]L’insieme vuoto \(\emptyset \) è un insieme. In formule:

   \[ ∃ X : ∀ Y ¬(Y ∈ X) \]

   per il precedente assioma, \(X\) è unico, e viene denotato con \(\emptyset \)

3. [1Y3] Assioma della coppia. Dati comunque due insiemi \(X\) e \(Y\) esiste un insieme \(Z\), rappresentato come \(Z=\{ X,Y\} \), i cui elementi sono solo \(X\) e \(Y\). In formula

   \[ ∀ X, Y ∃ Z : ∀ W (W ∈ Z) \iff (W = X) ∨ (W = Y )\quad . \]

   Di nuovo l’insieme \(Z\) è unico per effetto dell’assioma di estensionalità 28.

4. [026] L’assioma dell’unione ⁵ dice che per ogni insieme \(A\) esiste un insieme \(B\) che contiene tutti gli elementi degli elementi di \(A\); in simboli,

   \[ ∀ A ∃ B, ∀ x, (x∈ B \iff (∃ y,y∈ A ∧ x∈ y))~ ~ . \]

   Si mostra che questo è unico, per effetto dell’assioma di estensionalità 28; indichiamo questo insieme \(B\) con \({\underline⋃} A\) (per non confonderlo col simbolo già introdotto prima).

   Per esempio se

   \[ A = \{ \{ 1,3,\{ 5,2\} \} , \{ 7,19\} \} \]

   allora

   \[ {\underline⋃}A = \{ 1,3,\{ 5,2\} , 7,19 \} \quad . \]

   Dati \(A_ 1,\ldots A_ k\) insiemi, sia \(D=\{ A_ 1,\ldots A_ k\} \) ⁶ definiamo

   \[ A_ 1∪ A_ 2\ldots ∪ A_ k {\stackrel{.}{=}}{\underline⋃}D \quad . \]

5. [1Y1] L’assioma dell’insieme potenza dice che per ogni insieme \(A\), esiste un insieme \(\mathcal{P}(A)\) i cui elementi sono tutti e soli i sottoinsiemi di \(A\). Una formula abbreviata di definizione è

   \[ {\mathcal P}(A){\stackrel{.}{=}}\bigl\{ B:\ B⊆ A\bigr\} \quad . \]

   \(\mathcal{P}(A)\) si chiama anche insieme delle parti.

   Nel linguaggio formale degli assiomi di Zermelo-Fraenkel, l’assioma si scrive:

   \[ ∀ A, ∃\; Z, ∀ y , y ∈ Z \iff (∀ z, z ∈ y \implies z ∈ A)\quad ; \]

   questa formula comporta che l’insieme potenza \(Z\) è unico, dunque possiamo denotarlo con il simbolo \( {\mathcal{P}(A)}\) senza tema di equivoci.

   Notate che

   \[ (∀ z, z ∈ y \implies z ∈ A) \]

   si può abbreviare con \(y⊆ A\) e dunque l’assioma può essere scritto come

   \[ ∀ A, ∃\; Z, ∀ y , y ∈ Z \iff ( y ⊆ A)\quad ; \]

   usando poi l’estensionalità, si ottiene che

   \[ Z=\{ y: ( y ⊆ A)\} \quad . \]

6. Assioma dell’infinito (si veda 86)

7. [1Y0]L’assioma di specificazione, che recita

   Se \(A\) è un insieme, e \(P(x)\) è una proposizione logica, allora \(\{ x∈ A:P(x)\} \) è un insieme.

   Formalmente, ponendo \(B=\{ x∈ A:P(x)\} \),

   \[ \forall X, X\in B \iff X\in A\land P(x)\quad . \]

   Questo assioma evita il paradosso di Russel: sia \(A\) l’insieme degli \(x\) tali che \(x∉ x\), allora non si ha né \(A∈ A\) né \(A∉ A\).

8. Assioma di buona fondazione, o di regolarità (si veda 13)

9. Assioma di rimpiazzamento

(Abbiamo omesso le definizioni dell’ “Assioma di rimpiazzamento”; si puo trovare in Cap.1 Sez.16 in  [ 3 ] oppure Cap. 1 in [ 14 ] ).

Vi è un ulteriore assioma, l’Assioma della scelta: questo sarà discusso in Sez. ??.

E36

[23W]La notazione in 4 differisce da quella usuale, che è \(⋃_{i∈ I}C_ i\), dove \(I\) è una famiglia di indici non-vuota e \(C_ i\) sono insiemi; come visto in 31.

Come potete definire \(⋃_{i∈ I}C_ i\) usando l’assioma dell’unione presentato in 4? (Sugg. rileggete la nota 36)

Alla fine dovreste ottenere

\begin{equation} \forall x, x\in ⋃_{i∈ I}C_ i \iff ∃ i∈ I, x\in C_ i\quad . \label{eq:unione_ simpl_ in_ logica} \end{equation}

37

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’027’]

E36

[23T](Proposto il 2022-10-11) (Svolto il 2022-10-25) Mostrate che la definizione di intersezione 32 è ben posta, usando gli assiomi Z-F. Alla fine mostrate anche che

\begin{equation} ∀ x, x∈ ⋂_{i∈ I}C_ i \iff \left(I≠∅ ∧ ∀ i∈ I, x∈ C_ i\right)\quad . \label{eq:inters_ in_ logica} \end{equation}

38

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’23V’]

E36

[252]Prerequisiti:2,4,7,26. Sia dato un insieme \(A\) non vuoto; definite \(B\) come l’insieme che contiene tutti gli elementi che stanno in tutti gli elementi di \(A\). Scrivete una formula ben formata che definisca \(B\), mostrate che \(B\) è un insieme e mostrate che è unico; per simmetria con l’assioma 4 lo indicheremo con

\[ B = \underline⋂ A\quad . \]

È legato alla usuale notazione dalla relazione

\[ \underline⋂ A = ⋂ _{x\in A} x \quad . \]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’254’]

E36

[247]Prerequisiti:1,2.(Svolto il 2022-10-25) Ora che avete correttamente definito l’unione 32 e l’intersezione 31 usando gli assiomi Z-F, dite quale valore assumono

\[ ⋂_{i∈ I}C_ i \]

e

\[ ⋃_{i∈ I}C_ i \]

quando \(I\) è l’insieme vuoto. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’249’]

E36

[028]Prerequisiti:4. Usando la definizione di \({\underline⋃}\) presentata in 4, mostrate che \(A={\underline⋃}({\mathcal P}(A))\).

E36

[248](Svolto il 2022-10-25) Dati \(X\) insieme e \(I,C_ i\) come in 32 e 31, mostrate che

\begin{equation} X\setminus \left( ⋂_{i∈ I}C_ i\right) = ⋃_{i∈ I}(X\setminus C_ i)\quad . \label{eq:setminus_ inter_ union} \end{equation}

39

Cosa succede quando \(I\) è l’insieme vuoto?

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’24B’]

E36

[1W4](Proposto il 2022-12) Se \(A\) è un insieme di \(n\) elementi (\(n≥ 0\) numero naturale) allora quanti elementi vi sono in \(\mathcal{P}(A)\)?

E36

[023] Scrivete esplicitamente \(\mathcal{P}\mathcal{P}\mathcal{P}(∅)\). Quanti elementi ha? Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1WX’]

E36

[1Y9] Siano dati \(a,b,x,y\).

1. Mostrate che nell’ipotesi

   \[ \{ a,b\} = \{ x,y\} \]

   si ha che

   \[ (a= b)\iff (x= y) \iff a=b=x=y \quad . \]

2. Deducete in particolare che se

   \[ \{ a\} = \{ x,y\} \]

   allora \(a=x=y\).

3. Mostrate poi che se ipotizziamo che i quattro elementi \(a,b,x,y\) non siano tutti uguali, allora si ha

   \[ \{ a,b\} = \{ x,y\} \]

   se e solo se \(a=x∧ b=y\) oppure \(a=y∧ b=x\).

Per mostrare quanto sopra siate più precisi possibile: usate l’assioma di estensionalità 28, l’assioma della coppia 3 e le tautulogie mostrate nella sezione precedente (o altre relazioni logiche elementari). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1YB’]

E36

[01N](Svolto il 2022-10-25) Prerequisiti:9. La coppia ordinata viene definita come

\[ (x,y){\stackrel{.}{=}}\{ \{ x\} ,\{ x,y\} \} \quad ; \]

(notate che l’assioma della coppia 3 ci garantisce che questa è una buona definizione); mostrate che

\begin{equation} (a,b)=(x,y) \iff (a=x\wedge b=y)\quad .\label{eq:identita_ coppia} \end{equation}

40

(Prima soluzione che non usa 9) Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1WZ’] )

(Seconda soluzione che usa 9) Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1YC’] )

E36

[1YD]Prerequisiti:9,13. Immaginiamo una diversa definizione per la coppia ordinata, definita come

\[ ⟬x,y ⟭{\stackrel{.}{=}}\{ x,\{ x,y\} \} \quad ; \]

mostrate che

\begin{equation} ⟬a,b⟭=⟬x,y⟭\iff (a=x∧ b=y)\quad .\label{eq:identita_ pseudocoppia} \end{equation}

41

Per mostrarlo vi servirà 13. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1YF’]

E36

[029](Svolto il 2022-10-25) Mostrate che, dati \(a_ 1,\ldots a_ k\) insiemi, esiste un insieme che contiene tutti e soli questi elementi. Questo insieme viene solitamente indicato con \(\{ a_ 1,\ldots a_ k\} \).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’02B’]

E36

[01R] (Svolto il 2022-10-25) L’assioma di buona fondazione (detto anche assioma di regolarità) della teoria di Zermelo–Fraenkel dice che ogni insieme non vuoto \(X\) contiene un elemento \(y\) che è disgiunto da \(X\); in formula

\[ ∀ X, X≠ ∅ ⇒ (∃ y\, (y∈ X)∧ (X∩ y=∅))~ ~ \]

(ricordiamo che ogni oggetto nella teoria è un insieme, dunque \(y\) è un insieme). Usando questo assioma provate questi fatti.

• Non esiste un insieme \(x\) che sia elemento di se stesso cioè per cui \(x∈ x\).

• Più in generale non esiste una famiglia finita \(x_ 1,\ldots x_ n\) per cui \(x_ 1∈ x_ 2∈ \ldots ∈ x_ n ∈ x_ 1\).

• Inoltre non esiste una successione \(x_ 1,\ldots x_ n,\ldots \) di insiemi per cui \(x_ 1∋ x_ 2 ∋ x_ 3 ∋ x_ 4\ldots \).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’01S’]

[UNACCESSIBLE UUID ’01T’]

[UNACCESSIBLE UUID ’01V’] [01W] Prerequisiti:13.(Svolto il 2022-10-25) Mostrate che per ogni \(x\) esiste un \(y\) tale che \(y∉ x\) Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’01X’] [01Y] Mostrate invece che l’assioma dell’infinito, e la conseguente costruzione dei numeri naturali vista in Sez. 3.8, comporta che esiste una successione \(x_ 1,\ldots x_ n,\ldots \) di insiemi per cui \(x_ 1∈ x_ 2∈ x_ 3 \ldots \). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’01Z’] [020] Prerequisiti:3.(Svolto il 2022-10-25) Dato \(A\) insieme non vuoto mostrate che esiste una bigezione \(f:A→ B\) fra \(A\) e un insieme \(B\) disgiunto da \(A\).

Più in generale sia \(I\) un insieme non vuoto di indici, sia \(A_ i\) una famiglia di insiemi non vuoti indicizzata da \(i∈ I\);  ⁷ mostrare che esistono bigezioni \(f_ i:A_ i→ B_ i\), dove gli insiemi \(B_ i\) godono della proprietà \(∀ i∈ I,∀ j∈ I, B_ i∩ A_ j=∅\) e se \(j≠ j\) anche \( B_ i∩ B_ j=∅\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’021’] [022]Prerequisiti:5.

Mostrate che \(X⊆ Y\) se e solo se \({\mathcal P}(X) ⊆ {\mathcal P}(Y)\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1WW’] [024]Usando la definizione di coppia \((a,b)\) come \(\{ \{ a\} ,\{ a,b\} \} \) mostrate che, dati due insiemi \(x,y\) , per ogni \(a∈ x,b∈ y\) si ha

Usate questo fatto e l’assioma di separazione per giustificare assiomaticamente la definizione del prodotto cartesiano \(x× y \).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’025’]

Lemma di Zorn, Assioma della Scelta, Teorema di Zermelo[23R]

Vi sono tre enunciati fondamentali nella teoria degli insiemi, il Lemma Zorn, l’Assioma della Scelta, e il Teorema di Zermelo. Si dimostra, all’interno dell’assiomatica di Zermelo–Fraenkel, che questi sono equivalenti. Si veda in Cap. 1 in [ 3 ] per una presentazione basata sui principi sopra definiti. ⁸

Il primo esercizio ci presenta alcune fondamentali maniere equivalenti di esprimere l’Assioma della Scelta.

E42

[02H]Prerequisiti:36, 4,3 . Sia \(I\) un insieme non vuoto di indici, sia \(A_ i\) una famiglia di insiemi non vuoti indicizzata da \(i∈ I\). Ricordiamo che, per definizione, il prodotto cartesiano \(∏_{i∈ I}A_ i\) è l’insieme delle funzioni \(f:I→ ⋃_{i∈ I}A_ i\) tali che \(f(i)∈ A_ i\) per ogni \(i∈ I\).

Mostrate che le seguenti sono formulazioni equivalenti dell’assioma della scelta.

• Il prodotto cartesiano di una famiglia non vuota di insiemi non vuoti è non vuoto.

• Data una famiglia \(A_ i\) come sopra, tale che gli insiemi sono non vuoti, e a due a due disgiunti, esiste un sottoinsieme \(B\) di \(⋃_{i∈ I}A_ i\) tale che, per ogni \(i∈ I\), \(B∩ A_ i\) contenga un unico elemento.

• Sia \(S\) un insieme, allora esiste una funzione \(g: {\mathcal P}(S) \to S\) tale che \(g(A) \in A\) per ogni \(A \in {\mathcal P}(S)\) non vuoto.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’02J’]

E43

[2GF] Trovate \(I\) un insieme non vuoto di indici, e per ciascun \(i∈ I\) un insieme \(A_ i\) non vuoto, per i quali non esiste un sottoinsieme \(B\) di \(⋃_{i∈ I}A_ i\) tale che, per ogni \(i∈ I\), \(B∩ A_ i\) contenga un unico elemento. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’2GG’]

E43

[2BZ]Prerequisiti:13.Consideriamo la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel e questo enunciato:

Dati \(A,B\) insiemi non vuoti per cui esista \(g:B→ A\) una funzione surgettiva, allora esiste una funzione iniettiva \(f:A→ B\) tale che \(g◦ f=\text{Id}_ A\).

Dimostrate che questo enunciato implica l’Assioma della Scelta. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’2C0’]

E43

[02D] Sia \(V\) uno spazio vettoriale reale. Sia \(B⊆ V\). Una combinazione lineare finita \(v\) di elementi di \(B\) è equivalentemente definita come

• \(v=∑_{i=1}^ nℓ_ i b_ i\) dove \(n=n(v)∈ℕ\), \(ℓ_ 1,\ldots , ℓ_ n∈ℝ\) e \(b_ 1,\ldots ,b_ n\) sono elementi di \(B\);

• \(v=∑_{b∈ B} 𝜆(b) b\) dove \(𝜆:B→ℝ\) ma inoltre \(𝜆(b)≠ 0\) solo per un numero finito di \(b∈ B\).

Chiamiamo \(Λ⊆ ℝ^ B\) l’insieme delle funzioni \(𝜆\) (come sopra usate) che sono non nulle solo per un numero finito di argomenti; \(Λ\) è uno spazio vettoriale: per questo la seconda definizione è meno intuitiva ma è più facile da maneggiare.

Diremo che \(B\) genera \(V\) se ogni \(v∈ V\) si scrive come combinazione lineare finita di elementi di \(B\).

Diremo che i vettori di \(B\) sono linearmente indipendenti se \(0=∑_{b∈ B} 𝜆(b) b\) implica \(𝜆≡ 0\); o equivalentemente che, dati \(n≥ 1\), \(ℓ_ 1,\ldots , ℓ_ n∈ℝ\) e \(b_ 1,\ldots ,b_ n∈ B\) tutti diversi, la relazione \(∑_{i=1}^ nℓ_ i b_ i=0\) implica \(∀ i≤ n,ℓ_ i=0\).

Diremo che \(B\) è una base algebrica (anche nota come base di Hamel) se valgono entrambe le proprietà.

Se \(B\) è una base allora la combinazione lineare che genera \(v\) è unica (cioè vi è un’ unica funzione \(𝜆∈Λ\) per cui \(v=∑_{b∈ B} 𝜆(b) b\)).

Mostrate che ogni spazio vettoriale ha una base algebrica. Mostrate più in generale che per ogni \(A,G⊆ V\), con \(A\) famiglia di vettori linearmente indipendenti e \(G\) generatori, esiste una base algebrica \(B\) con \(A⊆ B⊆ G\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’02G’]

La dimostrazione in generale necessita del Lemma di Zorn; anzi, questo enunciato è equivalente all’ Assioma della Scelta; questo è stato dimostrato da A. Blass in [ 7 ] ; si veda anche Part 1 §6 [ 22 ] .

E43

[02M]Difficoltà:*. ⁹ Considerate lo spazio quoziente

\[ {\mathbb X}=\{ a:ℕ→ℕ \} / ∼ \]

dove \(\{ a:ℕ→ℕ \} =ℕ^ℕ\) sono tutte le successioni a valori naturali, e dove definiamo \(a∼ b\) sse \(a_ k= b_ k\) definitivamente in \(k\).

Definiamo l’ordinamento

\[ a⪯ b \iff ∃ n \mbox{ s.t. } ∀ k≥ n, a_ k≤ b_ k \]

cioè \(a⪯ b\) quando \(a_ k≤ b_ k\) definitivamente. Questa è un preordine e

\[ a\sim b \iff (a⪯ b\land b⪯ a) \]

e dunque passa al quoziente dove diviene un ordine, si veda Prop. 82.

Sia ora \(a^ k\) una successione crescente di successioni, cioè \(a^ k⪯ a^{k+1}\); notiamo che essa è limitata superiormente da \(b\) definito come

\[ b_ n = \sup _{h,k≤ n} a^ k_ h ~ . \]

Possiamo dunque applicare il Lemma di Zorn a \(({\mathbb X},⪯)\) per dire che esistono massimali.

Dati \(a,b\) definiamo

\[ a∨ b = (a_ n∨ b_ n )_ n \]

allora è facilmente verificato che \(a⪯ a∨ b\). Questo ci dice che l’ordinamento è diretto, si veda 55.

Concludiamo dunque che \(({\mathbb X},⪯)\) ha un unico massimo, per 2.

Questo però è falso, perché se si prende una qualsiasi successione \(a\), la successione \((a_ n+1)_ n\) è più grande di \(a\).

Qual è l’errore nel ragionamento precedente? Cosa si può dunque concludere riguardo a \(({\mathbb X},⪯)\)?

Moltri altri esercizi necessitano del Lemma di Zorn, dell’Assioma della Scelta, o del Teorema di Zermelo; ne citiamo alcuni: 13, 111, 2, 2, 2, 2.

[UNACCESSIBLE UUID ’02N’]

[UNACCESSIBLE UUID ’02P’]

[UNACCESSIBLE UUID ’02Q’]

[UNACCESSIBLE UUID ’02R’]