19.2 Exp,sen,cos[2D7]

E406

[1M3]Prerequisiti:2,1, 2, 3.È uso definire

\[ e^ z =∑_{k=0}^∞ \frac 1{k!} z^ k \]

per \(z∈ℂ\). Vogliamo riflettere su questa definizione.

• Innanzitutto, per ogni \(z∈ℂ\), possiamo effettivamente definire

  \[ f(z) =∑_{k=0}^∞ \frac 1{k!} z^ k \]

  (si noti infatti che il raggio di convergenza è infinito — come si verifica facilmente usando il criterio della radice 217).

• Notiamo che \(f(0)=1\); definiamo \(e=f(1)\) che è il numero di Nepero ¹

• Si mostri che \(f(z+w)=f(z)f(w)\) per \(z,w∈ℂ\).

• Si verifica facilmente che \(f(x)\) è monotona crescente per \(x∈(0,∞)\); usando la relazione precedente, si ottiene che è monotona crescente per \(x∈ℝ\).

• Si mostri poi che, per \(n,m{\gt}0\) interi, \(f(n/m) = e^{n/m}\) (per la definizione di \(e^{n/m}\) si riveda 2).

• Si deduca che, per ogni \(x∈ℝ\), \(f(x) = e^{x}\) (per la definizione di \(e^{x}\) si riveda 3)

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1M4’]

E406

[1M5]Prerequisiti:3.

Dato \(z∈ℂ\), mostrate che

\begin{equation} \lim _{N→∞}\left(1+\frac z N\right)^ N=e^ z\label{eq:lim_ 1+l/n^ n} \end{equation}

407

e che il limite è uniforme sui compatti. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1M6’]

E406

[1M7]Se \(z=x+iy\) con \(x,y∈ℝ\), possiamo allora calcolare l’esponenziale complesso come prodotto \(e^{z}=e^ xe^{iy}\). Si usino gli sviluppi in serie di potenze per mostrare la identità di Eulero \(e^{iy}=\cos y + i \sin y~ .\)

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1M8’]

E406

[1M9]Viceversa si noti allora che  \(\cos y =\frac{e^{iy}+e^{-iy}} 2~ ~ ,~ ~ \sin y =\frac{e^{iy}-e^{-iy}}{i2}.\)

E406

[1MB]Si usi la precedente formula per verificare le note identità

\[ \sin (x+y) = \cos x \sin y + \cos y \sin x \]

\[ \cos (x+y) = \cos x \cos y - \sin y \sin x \]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1MC’]

E406

[1MD]Definiamo le funzioni coseno iperbolico ²

\[ \cosh y =\frac{e^{y}+e^{-y}} 2 \]

e seno iperbolico

\[ \sinh y =\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}. \]

• Si verifichi che

  \[ (\cosh x) ^ 2 - (\sinh x) ^ 2 =1 \]

  (che giustifica il nome di “iperbolico”).

• Si verifichino gli sviluppi in serie

  \[ \cosh (x) = 1+\frac 1 2 x^ 2+ \frac 1{4!} x^ 4+\frac 1{6!} x^ 6+ \ldots \]
  \[ \sinh (x) = x+\frac 1{3!} x^ 3+ \frac 1{5!} x^ 5+\frac 1{7!} x^ 7+ \ldots \]

• Si verifichi che

  \[ \cosh '=\sinh ~ ~ ,~ ~ \sinh '=\cosh \]

• Si verifichino le formule

  \[ \sinh (x+y) = \cosh x \sinh y + \cosh y \sinh x ~ ~ \]
  \[ \cosh (x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh y \sinh x ~ . \]