18.2 Exp,sen,cos[2D7]

E405

[1M3]Prerequisiti:2,1, 2, 3.È uso definire

$$e^z={\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}{z}^k$$

per $z\in ℂ$. Vogliamo riflettere su questa definizione.

• Innanzitutto, per ogni $z\in ℂ$, possiamo effettivamente definire

  $$f(z)={\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}{z}^k$$

  (si noti infatti che il raggio di convergenza è infinito — come si verifica facilmente usando il criterio della radice 216).

• Notiamo che $f(0)=1$; definiamo $e=f(1)$ che è il numero di Nepero ¹

• Si mostri che $f(z+w)=f(z)f(w)$ per $z,w\in ℂ$.

• Si verifica facilmente che $f(x)$ è monotona crescente per $x\in (0,\infty )$; usando la relazione precedente, si ottiene che è monotona crescente per $x\in ℝ$.

• Si mostri poi che, per $n,m>0$ interi, $f(n/m)=e^{n/m}$ (per la definizione di $e^{n/m}$ si riveda 2).

• Si deduca che, per ogni $x\in ℝ$, $f(x)=e^x$ (per la definizione di $e^x$ si riveda 3)

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1M4’]

E405

[1M5]Prerequisiti:3.

Dato $z\in ℂ$, mostrate che

$$\underset{N\to \infty }{lim}{(1+\frac{z}{N})}^N=e^z$$

406

e che il limite è uniforme sui compatti. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1M6’]

E405

[1M7]Se $z=x+iy$ con $x,y\in ℝ$, possiamo allora calcolare l’esponenziale complesso come prodotto $e^z=e^x{e}^{iy}$. Si usino gli sviluppi in serie di potenze per mostrare la identità di Eulero $e^{iy}=\cos y+i\sin y.$

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1M8’]

E405

[1M9]Viceversa si noti allora che  $\cos y=\frac{e^{iy}+e^{-iy}}{2},\sin y=\frac{e^{iy}-e^{-iy}}{i2}.$

E405

[1MB]Si usi la precedente formula per verificare le note identità

$$\sin (x+y)=\cos x\sin y+\cos y\sin x$$

$$\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin y\sin x$$

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1MC’]

E405

[1MD]Definiamo le funzioni coseno iperbolico ²

$$\cosh y=\frac{e^y+e^{-y}}{2}$$

e seno iperbolico

$$\sinh y=\frac{e^y-e^{-y}}{2}.$$

• Si verifichi che

  $$(\cosh x{)}^2-(\sinh x{)}^2=1$$

  (che giustifica il nome di “iperbolico”).

• Si verifichino gli sviluppi in serie

  $$\cosh (x)=1+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4+\frac{1}{6!}{x}^6+\dots$$
  $$\sinh (x)=x+\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{5!}{x}^5+\frac{1}{7!}{x}^7+\dots$$

• Si verifichi che

  $${\cosh }^{\prime }=\sinh ,{\sinh }^{\prime }=\cosh$$

• Si verifichino le formule

  $$\sinh (x+y)=\cosh x\sinh y+\cosh y\sinh x$$
  $$\cosh (x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh y\sinh x.$$