12.7 Morfologia matematica[2CQ]
Sia nel seguito \(X\) uno spazio vettoriale normato con norma \(\| ⋅\| \).
[124]Per \(A,B⊆ X\) sottoinsiemi, ricordiamo la definizione della somma di Minkowski \(A ⊕ B=\{ x+y : x∈ A, y∈ B\} \) vista in 345.
Fissato ora un insieme \(B\), definiamo
l’erosione di un insieme \(A⊆ X\) come
\[ A ⊖ B=\{ z∈ X:(B+z)⊆ A\} \quad ; \]la chiusura \(A ∙ B = ( A ⊕ B ) ⊖ B\);
l’ apertura \( A ∘ B = ( A ⊖ B ) ⊕ B\).
Dove, dati \(B⊆ X,z∈ X\), abbiamo indicato con \(B+z=\{ b+z:b∈ B\} \) la traslazione di \(B\) nella direzione \(z\). Nelle precedenti operazioni \(B\) è noto come “elemento strutturale”, e nelle applicazioni spesso \(B\) è un disco o una palla.
Siano nel seguito \(A,B,C⊆ X,w,z∈ X\). Alcuni dei seguenti esercizi sono tratti da [ 29 ] .
- E346
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Mostrate le seguenti identità:
\begin{eqnarray*} A ⊕ B & =& ⋃_{y∈ B}( A + y) \\ A ⊖ B & =& ⋂_{y∈ B}( A - y) \end{eqnarray*}Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’126’]
- E346
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Sia \(\tilde B=\{ -b:b∈ B\} \): mostrate che \((A ⊕ B)^ c=A^ c ⊖ \tilde B\), dove \(A^ c= X⧵ A\) è il complementare. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’128’]
- E346
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Mostrate che le quattro operazioni sono monotone: se \(A⊆ C\) allora \(A ⊕ B⊆ C ⊕ B\), \(A ⊖ B⊆ C ⊖ B\), \(A ∙ B⊆ C ∙ B\) e \( A ∘ B ⊆ C ∘ B \). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’12B’]
- E346
[12C]Prerequisiti:346,2,2.Se \(A\) è chiuso mostrate che \(A ⊖ B\) è chiuso. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’12D’]
- E346
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Mostrate che la erosione gode della proprietà invariantiva in questo senso:
\[ (A + z) ⊖ (B + z) = A ⊖ B~ . \] - E346
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Inoltre, l’erosione soddisfa \(( A ⊖ B ) ⊖ C = A ⊖ ( B ⊕ C )\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’12H’]
- E346
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Mostrate che la dilatazione gode della proprietà distributiva rispetto all’unione:
\[ (A \cup C) ⊕ B = (A ⊕ B) \cup (C ⊕ B). \]Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’12K’]
- E346
[12M]Prerequisiti:346,7,2.Mostrate che la erosione gode della proprietà distributiva rispetto all’intersezione:
\[ (A \cap C) ⊖ B = (A ⊖ B) \cap (C ⊖ B). \]Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’12N’]
- E346
[12P]Prerequisiti:346,2.Sia \(\tilde B=\{ -b:b∈ B\} \). Mostrate che
\[ (A ∙ B)^ c= ( A ^ c ∘ \tilde B )~ . \]Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’12Q’]
- E346
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Mostrate che
\[ A ⊆ ( C ⊖ B ) \]se e solo se
\[ ( A ⊕ B ) ⊆ C ~ ~ . \]Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’12S’]
- E346
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Ricordiamo che l’operazione \(A ∙ B=(A⊕B)⊖B\) si chiama “chiusura”.
Mostrate che \(A ⊆ A ∙ B\).
Sia \(X=ℝ^ n\), \(B=B_ r=\{ \| x\| {\lt} r\} \) una palla, trovate un esempio di insieme \(A\) aperto non vuoto limitato per cui \(A ∙ B=A\).
Sia \(X=ℝ^ n\), \(B=B_ r\) una palla, trovate un esempio per cui \(A ∙ B≠ A\).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’12V’]
- E346
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L’apertura è data anche da \(A ∘ B = ⋃_{x∈ X,B+x ⊆ A} (B+ x)\), il che significa che è il luogo delle traslazioni dell’elemento strutturale \(B\) all’interno dell’insieme \(A\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’12X’]
- E346
[12Y] Prerequisiti:346.Nel seguito \(A,B,\hat B⊆ℝ^ n\).
Trovate un esempio dove \(B\stackrel{≠}{⊂}\hat B\) e \(A ∘ B\stackrel{≠}{⊂} A ∘ \hat B\).
Trovate un esempio dove \(B\stackrel{≠}{⊂}\hat B\) e \(A ∘ \hat B\stackrel{≠}{⊂} A ∘ B\).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’12Z’]
- E346
[130] Prerequisiti:346,12.Se \(A\) è convesso e \(\hat B\) è l’ inviluppo convesso (vedere 365) di \(B\) mostrate che \(A ∘ B⊆ A ∘ \hat B\). Mostrate con un esempio che l’uguaglianza potrebbe non valere. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’131’]
- E346
[132] Prerequisiti:346,12.Se \(A,B\) sono convessi mostrate che \(A ∘ B\) è convesso. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’133’]