8 Topologia[0G5]
Sia \(X\) un insieme fissato e non vuoto. Useremo questa notazione. Per ogni insieme \(A⊆ X\) definiamo che \(A^ c=X⧵ A\) è il complementare di A.
[2DY] Uno spazio topologico è una coppia \((X,𝜏)\) dove \(X\) è un insieme (non vuoto) con associata la famiglia \(𝜏\) degli aperti, che è detta topologia.
[0G6] La topologia \(𝜏⊆{\mathcal P}(X)\) è una famiglia di sottoinsiemi di \(X\) che vengonono chiamati aperti. Questa famiglia gode di tre proprietà: \(∅,X\) sono aperti; l’intersezione di un numero finito di aperti è un aperto; l’unione di un numero arbitrario di aperti è un aperto.
[0G7] Siano dati \(A,B⊆ X\).
La parte interna di \(A\), denotata da \({{A}^\circ }\), è l’unione di tutti gli aperti contenuti in \(A\), e dunque è il più grande aperto contenuto in \(A\);
la chiusura di \(B\), denotata da \(\overline{B}\), è l’intersezione di tutti i chiusi che contengono \(B\), cioè è il più piccolo chiuso che contiene \(B\).
\(A\) si dice denso in \(B\) se \(\overline A ⊇ B\). 1
La frontiera \(∂ A\) di \(A\) è \(∂ A=\overline A⧵ {{A}^\circ }\).
[0G8] Si dice che uno spazio topologico \((X,𝜏)\) è \(T_ 2\), o “di Hausdorff”, se \(∀ x,y ∈ X\) esistono \(U,V∈ 𝜏\) aperti disgiunti con \(x∈ U,y∈ V\).
[2F6]Ogni insieme \(X\) può essere associato a diverse topologie. Di seguito due semplici esempi:
Ulteriori informazioni si possono trovare in Cap. 2 of [ 23 ] o in [ 15 ] .
- E247
[0G9]Mostrate che se lo spazio è \(T_ 2\) allora ogni singoletto \(\{ x\} \) è chiuso.
- E247
[0GB]Mostrate che se \(A⊆ B\) allora \(\overline A⊆ \overline B\) e \({{A}^\circ }⊆ {{B}^\circ }\)
- E247
[0GC]Mostrate che se \(A=B^ c\) allora \((\overline B)^ c={{A}^\circ }\), usando le definizioni 243 e 244.
- E247
[0GD]Notate che \(A⊇ {{A}^\circ }\) e \(B⊆ \overline B\), in genere. Mostrate che \(A\) è aperto se e solo se \(A={{A}^\circ }\); e che \(B\) è chiuso se e solo se \(B=\overline B\), usando le definizioni 243 e 244.
- E247
[0GF] Argomenti:parte interna. Dato \(X\) spazio topologico e \(A⊆ X\), mostrate che
\[ {{A}^\circ } = {{\left({{A}^\circ }\right)}^\circ }~ ~ . \]usando la definizione di \({{A}^\circ }\) data sopra.
(Per il caso di \(X\) spazio metrico, si veda anche il 10)
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0GG’]
- E247
[0GH] Argomenti:chiusura. Dato \(X\) spazio topologico e \(A⊆ X\), mostrate che
\[ \overline A= \overline{\left(\overline A\right)} \]sia per passaggio al complementare rispetto al 5, sia usando la definizione di \(\overline A\) come “intersezione di tutti i chiusi che contengono \(A\)”.
(Per il caso di \(X\) spazio metrico, si veda anche il 13)
- E247
[0GJ] Argomenti:chiusura, parte interna. Sia dato \(X\) spazio topologico e \(A⊆ X\) aperto.
Mostrate che \(A⊆ {{\left(\overline A\right)}^\circ }\) (la parte interna della chiusura di \(A\)).
Trovate un esempio di insieme \(A⊂ℝ\) aperto per cui \(A≠ {{\left(\overline A\right)}^\circ }\).
Formulate poi una simile relazione per \(A\) chiuso, passando ai complementari.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0GK’]
- E247
[0GM]Dati gli insiemi \(A, \, B\subseteq {\mathbb {R}}\), si determinino le relazioni tra le seguenti coppie di insiemi
\begin{align*} \overline{A\cup B} \qquad \qquad \text{ \text{e}~ }& \, \qquad \qquad \overline{A}\cup \overline{B}\, ,\\ \overline{A\cap B} \qquad \qquad \text{ \text{e}~ }& \, \qquad \qquad \overline{A}\cap \overline{B}\, ,\\ {{({A\cup B})}^\circ } \qquad \qquad \text{ \text{e}~ }& \, \qquad \qquad {{A}^\circ } \cup {{B}^\circ }\, , \\ {{({A\cap B})}^\circ } \qquad \qquad \text{ \text{e}~ }& \, \qquad \qquad {{A}^\circ } \cap {{B}^\circ }\, . \end{align*}
Sia \((X,\tau )\) uno spazio topologico. Consideriamo l’ordinamento discendente fra insiemi 2 , con questo ordinamento \(𝜏\) è un insieme diretto; notiamo che ha minimo, dato da \(∅\).
Supponiamo ora che la topologia sia Hausdorff. Preso poi \(x∈ A\), sia \({{\mathcal U}}=\{ A∈𝜏: x∈ A\} \) la famiglia degli aperti che contengono \(x\): mostrate che \({{\mathcal U}}\) è un insieme diretto; mostrate che ha minimo se e solo se il singoletto \(\{ x\} \) è aperto (e in questo caso il minimo è \(\{ x\} \)). 3
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0GR’]
Per l’esercizio 3, quando \(\{ x\} \) non è aperto allora \({{\mathcal U}}\) è un insieme filtrante, e dunque può essere usato come famiglia di indici per definire un “limite” non banale (si veda la nota 240). Vedremo applicazioni in sezione 8.7.
[0GS]Note:Compito del 25 Marzo 2017.Siano \((X, τ )\), \((Y , θ) \) due spazi topologici con intersezione non vuota e si supponga che le topologie ristrette a \(C=X ∩ Y\) coincidano (cioè \(τ_{| C} = θ_{| C} \)) 4 e che \(C\) sia aperto in entrambi le topologie (cioè \(C∈ τ, C∈ θ\)). Si dimostri che esiste una sola topologia \(σ\) su \(Z=X ∪ Y\) tale che \(σ_{| X} = τ\) e \(σ_{|Y} = θ\) e che \(X,Y∈ σ\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0GT’][UNACCESSIBLE UUID ’0GV’]