19.3 Esponenziale di matrici[2D8]

E408

[1MG] Prerequisiti:Sezione . 12.4,2, 1, 4, 2.

Dotiamo lo spazio delle matrici \(ℂ^{n× n}\) di una delle norme viste in Sezione 12.5.

• Mostrate che la serie \(∑_{k=0}^∞{A^ k}/{k!}\) converge.

• Mostrate che

  \begin{equation} \exp (A)=\lim _{N→∞}\Big({\mathbb {I}}+A/N\Big)^ N \label{eq:exp(A)=lim(I+A/N)N} \end{equation}

  409

  dove \({\mathbb {I}}\) è la matrice identità in \(ℝ^{n× n}\); e che la convergenza è uniforme in ogni intorno compatto di \(A\). (Sugg. fate buon uso del simile risultato 2.)

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1MH’]

E408

[1MJ] Se \(A\) è invertibile allora

\[ A\exp (B)A^{-1}=\exp (A BA ^{-1})\quad . \]

E408

[1MK] La derivata di

\[ t∈ℝ↦ \exp (tA) \]

è \(A\exp (tA)\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1MM’]

E408

[1MN] Se \(A,B\) commutano, allora

\[ A\exp (B)=\exp (B)A~ ~ ~ ,~ ~ ~ \exp (A+B)=\exp (A)\exp (B)~ . \]

In particolare \(\exp (A)\) è sempre invertibile e la sua inversa è \(\exp (-A)\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1MP’]

E408

[1MQ] Siano

\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\quad ,\quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\quad :\quad \]

calcolate

\[ \exp (A) \exp (B)\quad ,\quad \exp (B) \exp (A)\quad ,\quad \exp (A+B)\quad ; \]

otterrete che sono tutti diversi fra loro. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1MR’]

E408

[1MS]Se \(A,B\) commutano allora la derivata direzionale di \(\exp \) nel punto \(A\) in direzione \(B\) è \(B\exp (A)\), cioè

\[ \frac{d\hskip5.5pt}{d{t}} \exp (A+tB)|_{t=0}=B\exp (A)~ ~ . \]

E408

[1MT]Difficoltà:*.Mostrate che

\[ \det (\exp (A))=\exp ({\operatorname {tr}}(A))\quad . \]

Sugg. usate la formula di Jacobi 14 per calcolare la derivata di \(\det (\exp (tA))\); usate il risultato precedente 3 — vedere anche 3. Un’altra dimostrazione si può ottenere passando alla forma di Jordan (usando 2).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1MV’]

E408

[1MW] Difficoltà:*.Nel caso generale (quando non sappiamo se \(A,B\) commutano) procediamo come segue. Definiamo \([A,B]=AB-BA\).

• Posto \(B_ 0=B\) e \(B_{n+1}=[A,B_ n]\) si ha

  \begin{eqnarray*} B_ n& =& A^ nB - n A^{n-1}BA + \frac{n(n-1)} 2 A^{n-2}BA^ 2 + \cdots + (-1)^ n\, BA^ n =\\ & =& ∑_{k=0}^ n (-1)^ k\binom {n}{k} A^{n-k} B A^{k}~ ~ ; \end{eqnarray*}

• definiamo ora \(Z=Z(A,B)\)

  \begin{equation} Z{\stackrel{.}{=}}∑_{n=0}^∞\frac{B_ n}{n!}~ ~ ,\label{eq:Z(A,B)} \end{equation}

  410

  (notate che \(Z\) è lineare in \(B\)): si mostra che la serie precedente converge e che

  \begin{equation} \exp (A)B\exp (-A)=Z~ ~ ;\label{eq:exp_ A_ B_-A_ Z} \end{equation}

  411

• da questa infine si dimostra che

  \[ \exp (A)\exp (B)\exp (-A)=\exp (Z)~ ~ . \]

(Queste formule si possono vedere come conseguenze della formula di Baker–Campbell–Hausdorff [ 51 ] ). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1MX’]

E408

[1MY]Prerequisiti:1.In generale (anche quando \(A,B\) non commutano)

\[ \exp (A+B)=\lim _{N\to \infty }\Big(\exp (A/N) \exp (B/N) \Big)^ N \]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1MZ’]

E408

[1N0]Prerequisiti:2.Difficoltà:**.Nel caso generale (anche quando non sappiamo se \(A,B\) commutano), possiamo esprimere \(\exp (A+sB)\) usando una espressione in serie di potenze. Definiamo

\[ C(t)=\exp (-tA)B \exp (tA) \]

e (ricorsivamente) \(Q_ 0={\mathbb {I}}\) (la matrice identità) e poi

\[ Q_{n+1}(t)=∫_ 0^ t C(𝜏) Q_ n(𝜏)\, {\mathbb {d}}𝜏 \]

allora si ha

\begin{equation} \exp (-A)\exp (A+sB)=∑_{n=0}^∞ s^ n Q_ n(1)~ ~ ;\label{eq:exp_ A+sB} \end{equation}

412

questa serie converge per ogni \(s\).

Se ne ricava in particolare che la derivata direzionale di \(\exp \) nel punto \(A\) in direzione \(B\) è

\[ \frac{d\hskip5.5pt}{d{s}} \exp (A+sB)|_{s=0}=\exp (A) Q_ 1(1) = ∫_ 0^ 1 \exp ((1-𝜏) A)B\exp (𝜏 A) \, {\mathbb {d}}𝜏~ ~ . \]

( Sugg. usate l’esercizio 2 con \(Y(t,s) = \exp (-tA)\exp (t(A+sB))\) e poi ponete \(t=1\). )

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1N1’]

E408

[1N2]Prerequisiti:8.Difficoltà:*.

Dimostrate la relazione

\[ \frac{d\hskip5.5pt}{d{t}} \exp (A+tB)|_{t=0}=\int _ 0^ 1 \exp (s A)B\exp ((1-s) A) \, {\mathbb {d}}s~ ~ . \]

usando le relazioni 410 e ?? di esercizio 8.

[UNACCESSIBLE UUID ’1N3’]