: Trasformata di sup<a class="btn btn-sm" href="/UUID/EDB/2CR/?lang=ita"><span class="ttfamily"><small class="scriptsize">[2CR]</small></span></a>

12.3 Trasformata di sup[2CR]

Definizione 348

[2CS]Sia $I = ℝ^{+}$ oppure $I = ℝ$ nel seguito, per semplicità.

Sia $ε > 0$ ; data $f : I \to ℝ$ limitata ¹ , definiamo la “trasformata sup” come la funzione $g : I \to ℝ$ data da

g (x) = sup_{y \in (x, x + ε)} f (y) .

349

Riassumiamo questa trasformazione con la notazione $g = F (ε, f)$ .

E349

[145]Prerequisiti:348.Mostrate che $g$ è regolata.

E349

[146]Prerequisiti:348.Mostrate che $g$ è semicontinua inferiore.

E349

[147]Prerequisiti:348.Mostrate che $f = g$ se e solo se $f$ è monotona debolmente decrescente e continua a destra.

E349

[148]Prerequisiti:348.Data

g (x) = {\begin{cases} - 1 & x = 4 \\ 0 & x \neq 4 \end{cases}

trovate $f$ tale che $g = F (1, f)$ .

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’149’]

E349

[14B]Prerequisiti:348.Mostrate che se $f$ è continua allora $g$ è continua.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’14C’]

E349

[14D]Prerequisiti:348,2.Sia $C_{b} = C_{b} (I)$ lo spazio delle funzioni $f : I : \to R)$ continue e limitate. Questo è uno spazio di Banach (uno spazio normato completo) con la norma $‖ f ‖_{\infty} = sup_{x} | f (x) |$ .

Consideriamo la mappa $F : [0, \infty) \times C_{b} \to C_{b}$ che trasforma $g = F (ε, f)$ , come definito nella eqn. ??.

Mostrate che $F$ è continua.

E349

[14F]Prerequisiti:348.Come cambiano i precedenti esercizi se si definisce invece

g (x) = sup_{y \in [x, x + ε]} f (y) ?

352

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’14G’]

[UNACCESSIBLE UUID ’14H’]