3.5 Compatibilità Z-F e Peano[26F]

Torniamo ora al modello ${\mathbb{N}}_{\text{ZF}}$ di $\mathbb{N}$ costruito appoggiandosi alla teoria di Zermelo—Fraenkel, visto in Sez. 2.8. Vogliamo vedere che questo modello soddisfa gli assiomi di Peano.

Ricordiamo che, dato $x$ (qualunque, non necessariamente numero naturale) si definisce il successore come

È facile vedere che N1 e N3 sono vere. La proprietà N5 segue dal fatto che ${\mathbb{N}}_{\text{ZF}}$ è il più piccolo insieme S-saturo. N2 e N4 derivano da 5.

Abbiamo inoltre visto nel Teorema 91 che la relazione $\subseteq$ soddisfa i requisiti delle Ipotesi 142.