4.5 Compatibilità Z-F e Peano[26F]

Torniamo ora al modello \(ℕ_\text {ZF}\) di \(ℕ\) costruito appoggiandosi alla teoria di Zermelo—Fraenkel, visto in Sez. 3.8. Vogliamo vedere che questo modello soddisfa gli assiomi di Peano.

Ricordiamo che, dato \(x\) (qualunque, non necessariamente numero naturale) si definisce il successore come

È facile vedere che N1 e N3 sono vere. La proprietà N5 segue dal fatto che \(ℕ_\text {ZF}\) è il più piccolo insieme S-saturo. N2 e N4 derivano da 5.

Abbiamo inoltre visto nel Teorema 91 che la relazione \(⊆\) soddisfa i requisiti delle Ipotesi 143.