: Ultrametrica p-adica<a class="btn btn-sm" href="/UUID/EDB/2CG/?lang=ita"><span class="ttfamily"><small class="scriptsize">[2CG]</small></span></a>

10.14 Ultrametrica p-adica[2CG]

Riportiamo dagli appunti [ 3 ] la definizione della distanza $p$–adica su $ℚ$. Sia $p$ un numero primo fissato.

Definizione 307

[0XF] Ogni numero razionale $x≠0$ si scompone in modo unico come prodotto

\begin{equation} \label{primi} x=± p_ 1^{m_ 1}p_ 2^{m_ 2}\cdots p_ k^{m_ k}\ , \end{equation}

308

dove $p_ 1{\lt}p_ 2{\lt}\cdots {\lt}p_ k$ sono numeri primi e gli $m_ j$ interi relativi. Fissato come sopra un numero primo $p$, si definisce il valore assoluto $p$–adico di $x∈ℚ$ come

\[ |x|_ p=\begin{cases} 0 & \text{ ~ \text{se}~ ~ }x=0\\ p^{-m}& \text{ se $p^ m$ è il fattore con base $p$ nella scomposizione~ ~ \ref{primi}\ .} \end{cases} \]

Definiamo infine $d(x,y)=|x-y|_ p$, che risulterà essere una distanza su $ℚ$, chiamata distanza $p$–adica.

Aggiungiamo questa definizione, che sarà molto utile nel seguito.

Definizione 311

[0XG]Per $n∈ℤ,n≠ 0$ definiamo

\[ 𝜑_ p(n)=\max \{ h∈ℕ, p^ h \text{ {divide} } n\} ~ ~ . \]

Poniamo inoltre $𝜑_ p(0)=∞$. Questa $𝜑_ p$ è nota come valutazione p-adica [ 67 ] . .

E311

[0XH] Provate queste relazioni fondamentali.

$|1|_ p=1$ e più in generale $|n|_ p≤ 1$ per ogni intero nonnullo $n$, con uguaglianza se $n$ non è divisibile per $p$.
Dato $n$ intero nonnullo, si ha che $|n|_ p=p^{-𝜑_ p(n)}$.
Dato $n,m$ interi, si ha che $𝜑_ p(n+m)≥ \min \{ 𝜑_ p(n),𝜑_ p(m)\} $ con uguaglianza se $𝜑_ p(n)≠ 𝜑_ p(m)$.
Dato $n,m$ interi nonnulli, si ha che $𝜑_ p(nm)=𝜑_ p(n)+𝜑_ p(m)$ e dunque $|nm|_ p=|n|_ p |m|_ p$.
Dato $x=a/b$ con $a,b$ interi nonnulli si ha che $|x|_ p=p^{-𝜑_ p(a)+𝜑_ p(b)}$. Notiamo che se $a,b$ sono primi tra loro, allora uno dei due termini $𝜑_ p(a),𝜑_ p(b)$ è zero.
Provate che $|x y|_ p = |x|_ p |y|_ p$ per $x,y∈ℚ$.
Provate che $|x/y|_ p = |x|_ p / |y|_ p$ per $x,y∈ℚ$ non nulli.

[UNACCESSIBLE UUID ’0XJ’]

[UNACCESSIBLE UUID ’0XK’] [0XM] Verificate che

\begin{equation} |x+y|_ p≤\max \big\{ |x|_ p,|y|_ p\big\} \label{eq:valu_ p-adi_ plus} \end{equation}

312

per ogni $x,\, y∈ℚ$. e dunque

\[ d_ p(x,z)≤\max \big\{ d_ p(x,y),d_ p(y,z)\big\} \ ,\qquad ∀\, x,\, y,\, z∈ ℚ\ ~ . \]

cioè questa è una ultrametrica (e dunque una distanza). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0XN’] Le proprietà 6 e ?? dicono che la valutazione p-adica è un valore assoluto, e anzi è una Krull valuation.

[UNACCESSIBLE UUID ’0XP’] [0XQ]Si mostri che la mappa di moltiplicazione è continua. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0XR’]

[UNACCESSIBLE UUID ’0XS’] [0XT] Si trovi un esempio di successione che tende a zero (ma che non assume mai il valore 0). Questo esempio mostra che la topologia associata non è la topologia discreta. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0XV’] [0XW]Difficoltà:*.Si mostri, per ogni $a/b∈ℚ$ con $a,b$ coprimi e $b$ non divisibile per $p$, esiste $(x_ n)_ n⊆ ℤ$ tale che $|x_ n-a/b|_ p→_ n 0$. Si noti che la ipotesi è necessaria.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0XX’] Si ottiene che $ℤ$ è denso nel disco $\{ x∈ℚ, |x|_ p≤ 1\} $. [0XY]Difficoltà:**.Si mostri che $(ℚ,d)$ non è uno spazio metrico completo.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0XZ’] [0Y0]Si mostri che nessuna distanza $p$–adica su $ℚ$ è bi–Lipschitz equivalente alla distanza euclidea (indotta da $ℝ$).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0Y1’]

[UNACCESSIBLE UUID ’0Y2’]