9.14 Ultrametrica p-adica[2CG]

Riportiamo dagli appunti [ 3 ] la definizione della distanza p–adica su . Sia p un numero primo fissato.

Definizione 306

[0XF] Ogni numero razionale x0 si scompone in modo unico come prodotto

x=±p1m1p2m2pkmk ,
307

dove p1<p2<<pk sono numeri primi e gli mj interi relativi. Fissato come sopra un numero primo p, si definisce il valore assoluto p–adico di x come

|x|p={0 ~ \text{se}~ ~ x=0pm se pm è il fattore con base p nella scomposizione~ ~ ???\ .

Definiamo infine d(x,y)=|xy|p, che risulterà essere una distanza su , chiamata distanza p–adica.

Aggiungiamo questa definizione, che sarà molto utile nel seguito.
Definizione 310

[0XG]Per n,n0 definiamo

𝜑p(n)=max{h,ph {divide} n}  .

Poniamo inoltre 𝜑p(0)=. Questa 𝜑p è nota come valutazione p-adica [ 67 ] . .

E310

[0XH] Provate queste relazioni fondamentali.

  1. |1|p=1 e più in generale |n|p1 per ogni intero nonnullo n, con uguaglianza se n non è divisibile per p.

  2. Dato n intero nonnullo, si ha che |n|p=p𝜑p(n).

  3. Dato n,m interi, si ha che 𝜑p(n+m)min{𝜑p(n),𝜑p(m)} con uguaglianza se 𝜑p(n)𝜑p(m).

  4. Dato n,m interi nonnulli, si ha che 𝜑p(nm)=𝜑p(n)+𝜑p(m) e dunque |nm|p=|n|p|m|p.

  5. Dato x=a/b con a,b interi nonnulli si ha che |x|p=p𝜑p(a)+𝜑p(b). Notiamo che se a,b sono primi tra loro, allora uno dei due termini 𝜑p(a),𝜑p(b) è zero.

  6. Provate che |xy|p=|x|p|y|p per x,y.

  7. Provate che |x/y|p=|x|p/|y|p per x,y non nulli.

[UNACCESSIBLE UUID ’0XJ’]

[UNACCESSIBLE UUID ’0XK’] [0XM] Verificate che

|x+y|pmax{|x|p,|y|p}
311

per ogni x,y. e dunque

dp(x,z)max{dp(x,y),dp(y,z)} ,x,y,z  .

cioè questa è una ultrametrica (e dunque una distanza). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0XN’] Le proprietà 6 e ?? dicono che la valutazione p-adica è un valore assoluto, e anzi è una Krull valuation.

[UNACCESSIBLE UUID ’0XP’] [0XQ]Si mostri che la mappa di moltiplicazione è continua. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0XR’]

[UNACCESSIBLE UUID ’0XS’] [0XT] Si trovi un esempio di successione che tende a zero (ma che non assume mai il valore 0). Questo esempio mostra che la topologia associata non è la topologia discreta. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0XV’] [0XW]Difficoltà:*.Si mostri, per ogni a/b con a,b coprimi e b non divisibile per p, esiste (xn)n tale che |xna/b|pn0. Si noti che la ipotesi è necessaria.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0XX’] Si ottiene che è denso nel disco {x,|x|p1}. [0XY]Difficoltà:**.Si mostri che (,d) non è uno spazio metrico completo.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0XZ’] [0Y0]Si mostri che nessuna distanza p–adica su è bi–Lipschitz equivalente alla distanza euclidea (indotta da ).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0Y1’]

[UNACCESSIBLE UUID ’0Y2’]