: Ultrametrica p-adica<a class="btn btn-sm" href="/UUID/EDB/2CG/?lang=ita"><span class="ttfamily"><small class="scriptsize">[2CG]</small></span></a>

9.14 Ultrametrica p-adica[2CG]

Riportiamo dagli appunti [ 3 ] la definizione della distanza $p$ –adica su $ℚ$ . Sia $p$ un numero primo fissato.

Definizione 306

[0XF] Ogni numero razionale $x \neq 0$ si scompone in modo unico come prodotto

x = \pm p_{1}^{m_{1}} p_{2}^{m_{2}} \dots p_{k}^{m_{k}},

307

dove $p_{1} < p_{2} < \dots < p_{k}$ sono numeri primi e gli $m_{j}$ interi relativi. Fissato come sopra un numero primo $p$ , si definisce il valore assoluto $p$ –adico di $x \in ℚ$ come

| x |_{p} = {\begin{cases} 0 & ~  \text{se}~ ~ x = 0 \\ p^{- m} & se p^{m} è il fattore con base p nella scomposizione~ ~ ??? \  . \end{cases}

Definiamo infine $d (x, y) = | x - y |_{p}$ , che risulterà essere una distanza su $ℚ$ , chiamata distanza $p$ –adica.

Aggiungiamo questa definizione, che sarà molto utile nel seguito.

Definizione 310

[0XG]Per $n \in ℤ, n \neq 0$ definiamo

𝜑_{p} (n) = max {h \in ℕ, p^{h} {divide} n} .

Poniamo inoltre $𝜑_{p} (0) = \infty$ . Questa $𝜑_{p}$ è nota come valutazione p-adica [ 67 ] . .

E310

[0XH] Provate queste relazioni fondamentali.

$| 1 |_{p} = 1$ e più in generale $| n |_{p} \leq 1$ per ogni intero nonnullo $n$ , con uguaglianza se $n$ non è divisibile per $p$ .
Dato $n$ intero nonnullo, si ha che $| n |_{p} = p^{- 𝜑_{p} (n)}$ .
Dato $n, m$ interi, si ha che $𝜑_{p} (n + m) \geq min {𝜑_{p} (n), 𝜑_{p} (m)}$ con uguaglianza se $𝜑_{p} (n) \neq 𝜑_{p} (m)$ .
Dato $n, m$ interi nonnulli, si ha che $𝜑_{p} (n m) = 𝜑_{p} (n) + 𝜑_{p} (m)$ e dunque $| n m |_{p} = | n |_{p} | m |_{p}$ .
Dato $x = a / b$ con $a, b$ interi nonnulli si ha che $| x |_{p} = p^{- 𝜑_{p} (a) + 𝜑_{p} (b)}$ . Notiamo che se $a, b$ sono primi tra loro, allora uno dei due termini $𝜑_{p} (a), 𝜑_{p} (b)$ è zero.
Provate che $| x y |_{p} = | x |_{p} | y |_{p}$ per $x, y \in ℚ$ .
Provate che $| x / y |_{p} = | x |_{p} / | y |_{p}$ per $x, y \in ℚ$ non nulli.

[UNACCESSIBLE UUID ’0XJ’]

[UNACCESSIBLE UUID ’0XK’] [0XM] Verificate che

| x + y |_{p} \leq max {| x |_{p}, | y |_{p}}

311

per ogni $x, y \in ℚ$ . e dunque

d_{p} (x, z) \leq max {d_{p} (x, y), d_{p} (y, z)}, \forall x, y, z \in ℚ .

cioè questa è una ultrametrica (e dunque una distanza). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0XN’] Le proprietà 6 e ?? dicono che la valutazione p-adica è un valore assoluto, e anzi è una Krull valuation.

[UNACCESSIBLE UUID ’0XP’] [0XQ]Si mostri che la mappa di moltiplicazione è continua. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0XR’]

[UNACCESSIBLE UUID ’0XS’] [0XT] Si trovi un esempio di successione che tende a zero (ma che non assume mai il valore 0). Questo esempio mostra che la topologia associata non è la topologia discreta. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0XV’] [0XW]Difficoltà:*.Si mostri, per ogni $a / b \in ℚ$ con $a, b$ coprimi e $b$ non divisibile per $p$ , esiste $(x_{n})_{n} \subseteq ℤ$ tale che $| x_{n} - a / b |_{p} \to_{n} 0$ . Si noti che la ipotesi è necessaria.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0XX’] Si ottiene che $ℤ$ è denso nel disco ${x \in ℚ, | x |_{p} \leq 1}$ . [0XY]Difficoltà:**.Si mostri che $(ℚ, d)$ non è uno spazio metrico completo.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0XZ’] [0Y0]Si mostri che nessuna distanza $p$ –adica su $ℚ$ è bi–Lipschitz equivalente alla distanza euclidea (indotta da $ℝ$ ).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0Y1’]

[UNACCESSIBLE UUID ’0Y2’]