9.14 Ultrametrica p-adica[2CG]
Riportiamo dagli appunti
[
3
]
la definizione della distanza
[0XF] Ogni numero razionale
dove
Definiamo infine
- E310
[0XH] Provate queste relazioni fondamentali.
e più in generale per ogni intero nonnullo , con uguaglianza se non è divisibile per .Dato
intero nonnullo, si ha che .Dato
interi, si ha che con uguaglianza se .Dato
interi nonnulli, si ha che e dunque .Dato
con interi nonnulli si ha che . Notiamo che se sono primi tra loro, allora uno dei due termini è zero.Provate che
per .Provate che
per non nulli.
per ogni
cioè questa è una ultrametrica (e dunque una distanza). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0XN’] Le proprietà 6 e ?? dicono che la valutazione p-adica è un valore assoluto, e anzi è una Krull valuation.
[UNACCESSIBLE UUID ’0XP’] [0XQ]Si mostri che la mappa di moltiplicazione è continua. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0XR’]
[UNACCESSIBLE UUID ’0XS’] [0XT] Si trovi un esempio di successione che tende a zero (ma che non assume mai il valore 0). Questo esempio mostra che la topologia associata non è la topologia discreta. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0XV’] [0XW]Difficoltà:*.Si mostri, per ogni
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0XX’] Si ottiene che
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0XZ’] [0Y0]Si mostri che nessuna distanza
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0Y1’]