3.6 Funzioni elementari

E79

[09G]Siano \(n,m,k\) interi positivi. Si dimostri che il numero \( (n+\sqrt{m})^ k + (n-\sqrt{m})^ k \) è intero.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’09H’]

E79

[09J]Sia \(K\) un intero positivo, \(N\) un intero, sia \(I=\{ N,N+1,\ldots ,N+K\} \) la successione degli interi da \(N\) a \(N+K\). Per ogni \(n∈ I\) fissiamo un valori intero \(a_ n\). Sia \(p\) l’unico polinomio di grado \(K\) tale che \(p(n)=a_ n\) per ogni \(n∈ I\).

• Si mostri che \(p\) ha coefficienti razionali.

• Si mostri che \(p(x)\) è intero per ogni \(x\) intero.

• Si trovi un esempio di polinomio \(p\) che assume valori interi per \(x\) intero, ma che non ha tutti coefficienti interi.

• Cosa succede se \(I\) contiene \(K+1\) interi ma non consecutivi? È ancora vero che, definito \(p(x)\) come sopra, \(p\) assume solo valori interi sugli interi?

E79

[09K]Sia \(p(x)\) un polinomio a coefficienti reali di grado \(n\), si mostri che esiste \(c{\gt}0\) tale che per ogni \(x\) si abbia \(|p(x)|≤ c(1+|x|^ n)\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’09M’]

E79

[211](Proposto il 2022-12) Si dimostri che, per \(n≥2\),

\[ ∑_{k=1}^{n-1} \frac 1{k} ≥ \log (n) \]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’212’]