: Connessione<a class="btn btn-sm" href="/UUID/EDB/2C5/?lang=ita"><span class="ttfamily"><small class="scriptsize">[2C5]</small></span></a>

9.5 Connessione[2C5]

Si vedano le definizioni in Sez. 7.5. Definiamo inoltre questa nozione.

Definizione 294

[0RG]Uno spazio topologico $(X, 𝜏)$ si dice “connesso per archi” se per ogni $x, y \in X$ esiste un arco continuo $𝛾 : [a, b] \to X$ con $x = 𝛾 (a), y = 𝛾 (b)$ .

E294

[0RH] Trovate una successione di insiemi chiusi connessi $C_{n} \subseteq ℝ^{2}$ tali che $C_{n + 1} \subseteq C_{n}$ e l’intersezione $⋂_{n} C_{n}$ è un insieme non-vuoto e sconnesso.

Si può trovare un simile esempio in $ℝ$ ?

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0RJ’]

E294

[0RK] Trovate una successione di insiemi chiusi e connessi per archi $C_{n} \subseteq ℝ^{2}$ tali che $C_{n + 1} \subseteq C_{n}$ e l’intersezione $⋂_{n} C_{n}$ è non vuoto, connesso, ma non connesso per archi.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0RM’][UNACCESSIBLE UUID ’0RN’]

E294

[0RP] Consideriamo l’esempio di insieme $E \subseteq ℝ^{2}$ dato da

E = {(0, t) : - 1 \leq t \leq 1} \cup {(x, \sin \frac{1}{x}) : x \in (0, 1]} .

295

Mostrare che questo insieme è chiuso, connesso, ma non è connesso per archi.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0RQ’]

Si veda anche [ 49 ] .

E294

[0RR] Difficoltà:*.Sia $(X, d)$ uno spazio metrico. Mostrate che $E \subseteq X$ è sconnesso se e solo se “esistono due aperti disgiunti, ciascuno dei quali interseca $E$ e tali che $E$ sia coperto dalla loro unione” (si veda la proposizione formalizzata in eqn. ?? nell’ esercizio 5).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0RS’]

E294

[0RT]Sia $D \subseteq ℝ^{2}$ numerabile; si mostri che $ℝ^{2} ⧵ D$ è connesso per archi.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0RV’]

E294

[0RY]Si trovi un esempio di uno spazio metrico $X$ che è connesso per archi, in cui esiste un sottoinsieme $A \subseteq X$ aperto che è connesso ma non connesso per archi. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0RZ’]

[UNACCESSIBLE UUID ’0RX’]