21 Superfici[1PZ]

E417

[1Q0]Prerequisiti:398.Sia $A\subset {ℝ}^n$ aperto e $f:A\to ℝ$ di classe $C^1$; sia $\bar{x}\in A$ tale che $f(\bar{x})=0$, e $\nabla f(\bar{x})\ne 0$: per il teorema di funzione implicita 398 l’insieme $E=\{f=0\}$ è un grafico in un intorno di $\bar{x}$, e il piano tangente a questo grafico è l’insieme degli $x$ per cui

$$⟨x-\bar{x},\nabla f(\bar{x})⟩=0.$$

Confrontate questo risultato col Lemma 7.7.1 negli appunti [ 3 ] : “il gradiente è ortogonale agli insiemi di livello” . Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1Q1’]

E417

[1Q2]Dato $m>0$, mostrate che la relazione $xyz=m^3$ definisce una superficie in ${ℝ}^3$. Provate che i piani tangenti alla superficie nei punti del primo ottante $\{x>0,y>0,z>0\}$ formano con i piani coordinati di ${ℝ}^3$ un tetraedro di volume costante.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1Q3’]

E417

[1Q4]Sia $a>0$. Mostrare che la relazione $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{a}$ definisce una superficie regolare dentro il primo ottante $\{x>0,y>0,z>0\}$. Provare che i piani tangenti alla superficie tagliano i tre assi coordinati in tre punti, la somma delle cui distanze dall’origine è costante.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1Q5’]

E417

[1Q8]Siano $a>0,b>0,c>0$. Si determini un piano tangente all’ellissoide

$$x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1$$

in un punto con $x,y,z>0$, in modo che il tetraedro delimitato da questo piano e dai piani coordinati abbia volume minimo.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1Q9’]