21 Superfici[1PZ]

E417

[1Q0]Prerequisiti:398.Sia \(A⊂ ℝ^ n\) aperto e \(f:A→ℝ\) di classe \(C^ 1\); sia \(\overline x∈ A\) tale che \(f(\overline x)=0\), e \(∇ f(\overline x)≠ 0\): per il teorema di funzione implicita 398 l’insieme \(E=\{ f=0\} \) è un grafico in un intorno di \(\overline x\), e il piano tangente a questo grafico è l’insieme degli \(x\) per cui

\[ ⟨ x-\overline x,∇ f(\overline x) ⟩=0~ ~ . \]

Confrontate questo risultato col Lemma 7.7.1 negli appunti [ 3 ] : “il gradiente è ortogonale agli insiemi di livello” . Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1Q1’]

E417

[1Q2]Dato \(m{\gt}0\), mostrate che la relazione \(xyz=m^ 3\) definisce una superficie in \(ℝ^ 3\). Provate che i piani tangenti alla superficie nei punti del primo ottante \(\{ x{\gt}0,y{\gt}0,z{\gt}0\} \) formano con i piani coordinati di \(ℝ^ 3\) un tetraedro di volume costante.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1Q3’]

E417

[1Q4]Sia \(a{\gt}0\). Mostrare che la relazione \(\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z = \sqrt a\) definisce una superficie regolare dentro il primo ottante \(\{ x{\gt}0,y{\gt}0,z{\gt}0\} \). Provare che i piani tangenti alla superficie tagliano i tre assi coordinati in tre punti, la somma delle cui distanze dall’origine è costante.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1Q5’]

E417

[1Q8]Siano \(a{\gt}0,b{\gt}0,c{\gt}0\). Si determini un piano tangente all’ellissoide

\[ x^ 2/a^ 2 + y^ 2/b^ 2 + z^ 2 / c^ 2 = 1 \]

in un punto con \(x,y,z{\gt}0\), in modo che il tetraedro delimitato da questo piano e dai piani coordinati abbia volume minimo.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1Q9’]