5.6 Approssimazione di numeri irrazionali[29Q]

Nei prossimi esercizi useremo le seguenti definizioni.

(Posto $𝜑(x)=x-\lfloor x\rfloor$, notate che $𝜑(3,1415)=0,1415$ ma $𝜑(-4,222)=0,778$ perché $\lfloor -4,222\rfloor =-5$).

E207

[0BV]Notate che $k=\lfloor x\rfloor$ è l’unico intero per cui si ha $k\le x<k+1$ o equivalentemente $0\le (x-k)<1$ o equivalentemente $x-1<k\le x$.

E207

[0BW] Prerequisiti:206.Dati $x\in \mathbb{R}$ e $N\in \mathbb{N},N\ge 2$, si dimostri che almeno un elemento dell’insieme $\{x,2x,\dots ,(N-1)x\}$ dista al massimo $1/N$ da un intero, cioè esistono $n,m\in \mathbb{Z}$ con $1\le n\le N-1$ tali che $|nx-m|\le 1/N$.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0BX’]

E207

[0BY] Prerequisiti:206,2.Dati $x,b\in ℝ$ con $x\ne 0$ irrazionale, e $\epsilon >0$, si dimostri che esiste un $M$ naturale tale che $Mx-b$ dista al massimo $\epsilon$ da un intero.

Sia $𝜑(x)=x-\lfloor x\rfloor$ la parte frazionaria di $x$, si ha $𝜑(x)\in [0,1)$. Il risultato precedente implica che la successione $𝜑(nx)$ è densa nell’intervallo $[0,1]$.

Notate che invece se $x\ne 0$ è razionale cioè $x=n/d$ con $n,d$ interi primi tra loro e $d>0$, allora la successione $𝜑(nx)$ assume tutti e soli i valori $\{0,1/d,2/d,\dots (d-1)/d\}$.

(Questo si dimostra con il Lemma di Bézout [ 39 ] ).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0BZ’]

[UNACCESSIBLE UUID ’0C0’]

[0C1]Prerequisiti:2. (Teorema di approssimazione di Dirichlet) Dato un numero irrazionale $x$, si dimostri che esistono infiniti razionali $𝛼$ tali che si può rappresentare $𝛼=m/n$ in modo da soddisfare la relazione

Alcuni commenti.

• Si noti per ogni fissato $n\ge 2$ esiste al più un $m$ per cui la precedente relazione vale; ma potrebbe non esisterne uno.

• Si noti che se la relazione vale per un $𝛼$ razionale, vi sono solo finite scelte di rappresentazioni per cui vale,

• e sicuramente vale per la scrittura “canonica” con $n,m$ primi fra loro.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0C2’]

[2B0]Notate che il teorema di Hurwitz [ 37 ] dice che per ogni irrazionale $𝜉$ esistono infiniti $m,n\in \mathbb{Z}$ coprimi per cui

[0C3]Fissati $k>0$, $\epsilon >0$ e un numero razionale $x$, si dimostri che esistono solo finiti razionali $𝛼$ tali che si può rappresentare $𝛼=m/n$ in modo da soddisfare la relazione

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0C4’] [0C5]Dimostrare che per ogni razionale $m/n$ si ha

Si ottiene che l’insieme $A={\bigcup }_{m\in \mathbb{Z},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}(\frac{m}{n}-\frac{1}{4n^2},\frac{m}{n}+\frac{1}{4n^2})$ è un aperto che contiene ogni numero razionale, ma $A\ne ℝ$.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0C6’]