7.5 Serie generalizzate
Serie generalizzate a termini positivi
[0FW]Sia \(I\) una famiglia infinita di indici e sia \(a_ i:I→[0,∞]\) una successione generalizzata, definiamo la somma \(∑_{i∈ I}a_ i\) come
dove \({\mathcal P}_{\mathfrak f}(I)\) l’insieme dei sottoinsiemi finiti \(K⊆ I\).
- E241
[0FX]Prerequisiti:1.Note:Dal compitino del 27 marzo 2010..Si dica per quali \(𝛼∈ℝ\) la sommatoria
\[ ∑_{(m,n)∈{\mathbb N}^ 2}\frac{1}{(n+m+1)^𝛼}\quad . \]converge. Si discuta poi, per \(N≥ 3\), la convergenza di
\[ ∑_{(m_ 1,\ldots m_ N)∈{\mathbb N}^ N}\frac{1}{(1+m_ 1+\ldots + m_ N)^𝛼}\quad . \]Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0FY’]
- E241
[0FZ]Sia \(I\) una famiglia di indici, sia \(a_ i\) una successione con \(a_ i≥ 0\); sia poi \(\mathcal F\) una partizione di \(I\) (non necessariamente di cardinalità finita); mostrare allora che
\[ ∑_{F∈\mathcal F}∑_{i∈ F} a_ i = ∑_{i∈ I} a_ i\quad . \]- E241
[0G0]Difficoltà:*. Siano \(I\) famiglia di indici; sia \(a_{i,j}:I× ℕ→ [0,∞]\) una successione generalizzata, tale che \(j↦ a_{i,j}\) è debolmente crescente per ogni fissato \(i\); si dimostri allora che
\[ ∑_{i∈ I} \lim _{j→∞} a_{i,j} = \lim _{j→∞} ∑_{i∈ I} a_{i,j}~ ~ . \](Questa è una versione per le serie del noto Teorema di convergenza monotona).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0G2’] [UNACCESSIBLE UUID ’0G1’]