EDB β€” 21D

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Teorema 23

[21D] Se \((a_ n)_ nβŠ‚{\mathbb {R}}\) ha termini positivi ed Γ¨ monotona (debolmente) decrescente, la serie converge se e solo se converge la serie

\[ βˆ‘_{n=1}^∞ 2^ n a_{2^ n} \quad . \]
Proof β–Ό

Dato che la successione \((a_ n)_ n\) è decrescente, allora per \(h∈{\mathbb {N}}\)

\begin{equation} 2^{h}a_{2^{(h+1)}}≀ βˆ‘_{k=2^ h+1}^{2^{(h+1)}}a_ k≀ 2^{h}a_{2^{h}}\quad .\label{eq:32rn2lp} \end{equation}
24

Notiamo ora che

\[ βˆ‘_{h=0}^ Nβˆ‘_{k=2^ h+1}^{2^{(h+1)}}a_ k = βˆ‘_{n=2}^{2^{N+1}}a_ n \]

e dunque

\[ βˆ‘_{h=0}^βˆžβˆ‘_{k=2^ h+1}^{2^{(h+1)}}a_ k= \lim _{Nβ†’βˆž} βˆ‘_{h=0}^ Nβˆ‘_{k=2^ h+1}^{2^{(h+1)}}a_ k= \lim _{Nβ†’βˆž} βˆ‘_{n=2}^{2^{(N+1)}}a_ n {=} βˆ‘_{n=2}^∞ a_ n \quad . \]

dunque possiamo sommare i termini in 24 per ottenere

\[ βˆ‘_{h=0}^∞ 2^{h}a_{2^{(h+1)}}≀ βˆ‘_{n=2}^∞ a_ nβ‰€βˆ‘_{h=0}^∞ 2^{h}a_{2^{h}} \]

laddove il termini a destra Γ¨ finito se e solo se quello a sinistra Γ¨ finito, in quanto

\[ βˆ‘_{h=0}^∞ 2^{h}a_{2^{h}}=a_ 1 + 2 βˆ‘_{h=0}^∞ 2^{h}a_{2^{(h+1)}}\quad : \]

si conclude la dimostrazione con il teorema di confronto.

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Bibliografia
Indice analitico
  • criterio, di condensazione di Cauchy
  • Cauchy, criterio di condensazione di ---
  • convergenza, di serie
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