: Norme nello spazio Euclideo<a class="btn btn-sm" href="/UUID/EDB/2CK/?lang=ita"><span class="ttfamily"><small class="scriptsize">[2CK]</small></span></a>

11.1 Norme nello spazio Euclideo[2CK]

Definizione 326

[10C] Dato $p \in [1, \infty]$ , si definiscono le norme $‖ x ‖_{p}$ su $ℝ^{n}$ con

‖ x ‖_{p} = {\begin{cases} \sqrt[p]{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} |^{p}} & p \neq \infty \\ {max}_{i = 1}^{n} | x_{i} | & p = \infty \end{cases}

327

(Il fatto che queste siano norme si dimostra con la 331).

E329

[10D]Mostrate che $lim_{p \to \infty} ‖ x ‖_{p} = ‖ x ‖_{\infty}$ .

E329

[10F] Prerequisiti:1.Dati $t, s \in [1, \infty]$ con $s > t$ e $x \in ℝ^{n}$ mostrate che $‖ x ‖_{s} \leq ‖ x ‖_{t}$ . Inoltre mostrate che $‖ x ‖_{s} < ‖ x ‖_{t}$ se $n \geq 2$ e $x \neq 0$ e $x$ non è multiplo di uno dei vettori della base canonica $e_{1}, \dots e_{n}$ .

Suggerimenti:

usate che $1 + t^{p} \leq (1 + t)^{p}$ per $p \geq 1$ e $t \geq 0$ ; o

usate i moltiplicatori di Lagrange; o

ricordiamo che $f (a + b) > f (a) + f (b)$ quando $a \geq 0, b > 0$ $f (0) = 0$ e $f : [0, \infty) \to ℝ$ è strettamente convessa e continua in 0 (si veda l’esercizio 2), dunque derivate $\frac{d}{d t} (\log ‖ x ‖_{t})$ e ponete $f (z) = z \log (z)$ ).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’10G’] [UNACCESSIBLE UUID ’10H’]

[10J] Dati

s, t \in [1, \infty]

con

s < t

mostrate che

n^{- 1 / s} ‖ x ‖_{s} \leq n^{- 1 / t} ‖ x ‖_{t}

(dove si intende

n^{- 1 / \infty} = 1

). (Notate che questa è una disuguaglianza fra medie).
(Sugg. Ponete $𝛼 = t / s$ e $y_{i} = | x_{i} |^{s}$ , poi usate la convessità di $f (y) = y^{𝛼}$ . Altro suggerimento: usate 3.) Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’10K’] [10M] Siano dati

p, q \in [1, \infty]

tali che

1 / p + 1 / q = 1

¹ e

x, y \in ℝ^{n}

; si mostri la disuguaglianza di Hölder in questa forma

\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} y_{i} | \leq ‖ x ‖_{p} ‖ y ‖_{q} .

330

In quali casi si ha uguaglianza?

Suggerimenti: assumete $x_{i}, y_{i} \geq 0$ ; per i casi con $p, q < \infty$ potete:

usare la disuguaglianza di Young (3 o 3);

usare i moltiplicatori di Lagrange;

partire dal caso $n = 2$ e porre $x_{2} = t x_{1}$ e $y_{2} = a y_{1}$ ; per i casi $n \geq 3$ usare induzione.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’10N’] [10P] Prerequisiti:3.Si deduca la versione

\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} \leq ‖ x ‖_{p} ‖ y ‖_{q};

331

dalla ??. In quale caso vale l’uguaglianza? [10Q] Prerequisiti:3.Dato $p \in [1, \infty]$ si mostri la disuguaglianza di Minkowski

‖ x + y ‖_{p} \leq ‖ x ‖_{p} + ‖ y ‖_{p} .

332

Se ne deduce che $‖ x ‖_{p}$ sono norme.

Per $p \in (1, \infty)$ trovate una semplice condizione (necessaria e sufficiente) che comporti l’uguaglianza; confrontatela con 2; deducete che $ℝ^{n}$ con la norma $‖ \cdot ‖_{p}$ per $p \in (1, \infty)$ è uno spazio normato strettamente convesso (vedere 3). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’10R’] [10S]Prerequisiti:1,1,2.Sia $r > 0$ ; se $p \in [1, \infty]$ allora la palla $B_{r}^{p} = {‖ x ‖_{p} < r}$ è convessa; inoltre $B_{r}^{p} \subseteq B_{r}^{\tilde{p}}$ se $\tilde{p} > p$ . Nel caso $n = 2$ del piano, studiare graficamente la forma delle palle al variare di $p$ . Vi sono punti che si trovano sulla frontiera di tutte le palle? Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’10T’] [10V]Se $r > 0$ e $p \in (1, \infty)$ allora la sfera ${‖ x ‖_{p} = r}$ è una superficie regolare. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’10W’] [10X] Prerequisiti:??.Dotiamo $ℝ^{n}$ della norma $‖ x ‖_{\infty}$ : mostrare che in dimensione 2 il disco ${x \in ℝ^{n}, ‖ x ‖_{\infty} \leq 1}$ è un quadrato, e in dimensione 3 è un cubo, etc etc.

Ora dotiamo $ℝ^{n}$ della norma $‖ x ‖_{1}$ : mostrare che in dimensione 2 il disco ${x \in ℝ^{n}, ‖ x ‖_{1} \leq 1}$ è un rombo cioè precisamente un quadrato ruotato di 45 gradi; e in dimensione 3 il disco è un’ottaedro. [10Y]Trovate una norma in $ℝ^{2}$ tale che la palla sia un poligono regolare di $n$ lati.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’10Z’]