EDB — 10F

[10F] Prerequisiti:[1H8]↺↻.Dati $t,s\in [1,\infty ]$ con $s>t$ e $x\in {ℝ}^n$ mostrate che $\Vert x{\Vert }_s\le \Vert x{\Vert }_t$. Inoltre mostrate che $\Vert x{\Vert }_s<\Vert x{\Vert }_t$ se $n\ge 2$ e $x\ne 0$ e $x$ non è multiplo di uno dei vettori della base canonica $e_1,\dots e_n$.

Suggerimenti:

1. usate che $1+t^p\le (1+t{)}^p$ per $p\ge 1$ e $t\ge 0$; o

2. usate i moltiplicatori di Lagrange; o

3. ricordiamo che $f(a+b)>f(a)+f(b)$ quando $a\ge 0,b>0$ $f(0)=0$ e $f:[0,\infty )\to ℝ$ è strettamente convessa e continua in 0 (si veda l’esercizio [192]↺↻), dunque derivate $\frac{d}{dt}(\log \Vert x{\Vert }_t)$ e ponete $f(z)=z\log (z)$).