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16.4 Teorema di funzione implicita [2D4]

Useremo il Teorema di Funzione Implicita, nella versione a più variabili (Teorema 7.7.4 in [ 3 ] ). Lo riportiamo qui per comodità, con alcune piccole modifiche nelle notazioni.

Teorema 398 Teorema delle funzioni implicite in

ℝ^{n}

[1GD] Sia $f : A \subseteq ℝ^{n} \to ℝ$ continua, con $A$ aperto, e sia $\overset{―}{x} = ({\overset{―}{x}}^{'}, {\overset{―}{x}}_{n}) \in A$ tale che $\partial_{x_{n}} f$ esiste in un intorno di $\overset{―}{x}$ , è continua in $\overset{―}{x}$ e $\partial_{x_{n}} f (\overset{―}{x}) \neq 0$ . Poniamo $\overset{―}{a} = f (\overset{―}{x})$ .

Esiste allora un intorno “cilindrico” $U$ di $\overset{―}{x}$

U = U^{'} \times J

dove

U^{'} = B ({\overset{―}{x}}^{'}, 𝛼)

è la palla aperta in $ℝ^{n - 1}$ centrata in ${\overset{―}{x}}^{'}$ di raggio $𝛼 > 0$ , e

J = ({\overset{―}{x}}_{n} - 𝛽, {\overset{―}{x}}_{n} + 𝛽)

con $𝛽 > 0$ . Per questo intorno si ha che $U \cap f^{- 1} ({\overset{―}{a}})$ coincide con il grafico $x_{n} = g (x^{'})$ , con $g : U^{'} \to J$ continua.

Questo significa che, per ogni $x = (x^{'}, x_{n}) \in U$ , si ha $f (x) = \overset{―}{a}$ se e solo se $x_{n} = g (x^{'})$ .

Inoltre, se $f$ è di classe $C^{k}$ su $A$ per qualche $k \in ℕ^{*}$ , allora $g$ è di classe $C^{k}$ su $U^{'}$ e vale

\frac{\partial g}{\partial x_{i}} (x^{'}) = - \frac{\frac{\partial f}{\partial x_{i}} (x^{'}, g (x^{'}))}{\frac{\partial f}{\partial x_{n}} (x^{'}, g (x^{'}))} \forall x^{'} \in U^{'}, \forall i, 1 \leq i \leq n - 1 .

399

E399

[1GF] Consideriamo la seguente funzione di 2 variabili di classe $C^{\infty}$

f (x, y) = x^{3} + y^{4} - 1 .

Verificate che ${f = 0} = {(x, y) \in ℝ^{2} : f (x, y) = 0}$ non sia vuoto; indi, per ogni punto del piano dove questa si annulla discutete se si può applicare il teorema di funzione implicita, e dunque se l’insieme ${f = 0}$ è localmente grafico di funzione $C^{\infty}$ . Studiate inoltre l’insieme ${f = 0}$ : è compatto? Quante componenti connesse vi sono?

(Tenere presente quanto mostrato in 4).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1GG’]

E399

[1GJ] Ripetete lo studio dell’esercizio 1 precedente per la funzione

f (x, y) = \sin (x + y) + x^{2} .

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1GK’][UNACCESSIBLE UUID ’1GN’]

E399

[1GP]Note:Esercizio 2, Compito scritto del 30 Giugno 2017.Ripetete lo studio dell’esercizio precedente per la funzione

f (x, y) = 1 + 4 x + e^{x} y + y^{4} .

Mostrare che il luogo di zeri non è compatto.

E399

[1GQ]Sia $A \subset ℝ^{3}$ aperto e siano $f, g : A \to ℝ$ differenziabili, e tali che in $p_{0} = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \in A$ si ha che $\nabla f (p_{0}), \nabla g (p_{0})$ sono linearmente indipendenti e che $f (p_{0}) = g (p_{0}) = 0$ : mostrare che l’insieme $E = {f = 0, g = 0}$ è una curva in un intorno di $p_{0}$ .

(Sugg. considerate che il prodotto vettore $w = \nabla f (p_{0}) \times \nabla g (p_{0})$ è nonnullo se e solo se i vettori sono linearmente indipendenti — infatti è formato dai determinanti dei minori della matrice Jacobiana; assumendo senza perdita di generalità che $w_{3} \neq 0$ , mostrate che $E$ è localmente il grafico di una funzione $(x, y) = 𝛾 (z)$ .)

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1GR’]

E399

[1GS] Note:Compito scritto 4 Luglio 2018.La figura 4 mostra l’insieme $E = {(x, y) : y e^{x} + x e^{y} = 1}$ .

Si dimostrino rigorosamente le seguenti proprietà:

in ogni punto $(x_{0}, y_{0}) \in E$ sono soddisfatte le ipotesi del Teorema della funzione implicita;
$E \cap {(x, y) : x > 0}$ coincide con il grafico, nella forma $y = f (x)$ , di un’unica funzione $f$ definita su $(0, + \infty)$ ;
$E$ è connesso;
$lim_{x \to + \infty} f (x) = 0$ .
Mostrate (almeno intuitivamente) che esiste $x_{0} > 0$ con la proprietà che $f$ è decrescente per $0 < x < x_{0}$ , crescente per $x > x_{0}$ .

$\includegraphics[width=6cm, height=6cm,keepaspectratio]{UUID/1/G/T/blob_zxx}$

Figura 4 Figura per esercizio 5.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1GV’]

E399

[1GW] Sia $E$ l’insieme di rette orizzontali

E = {(x, 0) : x \in ℝ} \cup ⋃_{n = 1}^{\infty} {(x, 1 / n) : x \in ℝ} .

Trovate una funzione $f : ℝ^{2} \to ℝ$ , $f = f (x, y)$ di classe $C^{1}$ tale che $E = {(x, y) : f (x, y) = 0}$ .

Dimostrate che necessariamente $\partial_{y} f (0, 0) = 0$ .

Sia ora $(\overset{―}{x}, \overset{―}{y}) = (0, 0)$ . Notate che esiste una funzione $g : ℝ \to ℝ$ tale che $g (0) = 0$ e $f (x, g (x)) = 0$ ! Difatti la funzione $g \equiv 0$ è l’unica funzione con tali caratteristiche. Dunque una parte della tesi nel teorema di funzione implicita è soddisfatta.

Spiegate dunque precisamente perché la tesi del teorema di funzione implicita non è soddisfatta.

Estensioni

Vediamo ora alcune varianti del teorema “standard”.

E399

[1GX]Prerequisiti:357.

Lavoriamo nelle ipotesi del teorema 398. Mostrate che se $f (\cdot, y)$ è Lipschitziana di costante $L$ per ogni fissato $y$ cioè

| f (x_{1}^{'}, y) - f (x_{2}^{'}, y) | \leq L | x_{1}^{'} - x_{2}^{'} | \forall x_{1}^{'}, x_{2} \in U^{'}, y \in J

(e $L > 0$ non dipende da $x_{1}^{'}, x_{2}^{'}, y$ ) allora $g$ è Lipschitziana di costante $L^{'}$ . Che rapporto vi è fra le costanti $L$ e $L^{'}$ ?

Similmente se $f$ è Hölderiana.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1GY’]

E399

[1GZ] Nelle stesse ipotesi del precedente teorema 398, mostrate che esistono $ε > 0$ e una funzione continua $\tilde{g} : V \to ℝ$ dove $I = (\overset{―}{a} - ε, \overset{―}{a} + ε)$ e $V = U^{'} \times I$ è aperto in $ℝ^{n}$ , tali che

\forall (x^{'}, a) \in V, (x^{'}, \tilde{g} (x^{'}, a)) \in U e f (x^{'}, \tilde{g} (x^{'}, a)) = a .

400

Viceversa se $x \in U$ e $a = f (x)$ e $a \in I$ allora $x_{n} = \tilde{g} (x^{'}, a)$ .

Notate che la precedente relazione significa che, per ogni fissato $x^{'} \in U^{'}$ , la funzione $\tilde{g} (x^{'}, \cdot)$ è l’inversa della funzione $f (x^{'}, \cdot)$ (quando definite su opportuni intervalli aperti).

Dunque si ha anche che la funzione $\tilde{g}$ è sempre differenziabile rispetto ad $a$ , e la derivata parziale è

\frac{\partial}{\partial a} \tilde{g} (x^{'}, a) = \frac{1}{\frac{\partial}{\partial x_{n}} f (x^{'}, \tilde{g} (x^{'}, a))} .

Le altre derivate invece (ovviamente) sono come nel teorema 398.

La regolarità di $\tilde{g}$ è la stessa di $g$ : se $f$ è Lipschitziana allora $\tilde{g}$ è Lipschitziana; se $f \in C^{k} (U)$ allora $\tilde{g} \in C^{k} (V)$ .

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1H0’]

E399

[1H1] Nelle stesse ipotesi dell’esercizio 2, assumiamo inoltre che $f \in C^{1} (A)$ .

Decomponiamo $y = (y^{'}, y_{n}), \in ℝ^{n}$ come già fatto per $x$ . Definiamo la funzione $G : V \to ℝ^{n}$ come $G (y) = (y^{'}, \tilde{g} (y))$ . Sia $W = G (V)$ l’immagine di $V$ , mostrate che $W \subseteq U$ e che $W$ è aperto.
Mostrate che è $G : V \to W$ è un diffeomorfismo; e che la sua inversa è la mappa $F (x) = (x^{'}, f (x))$ .
Poniamo $\tilde{f} = f ◦ G$ . Mostrate che $\tilde{f} (x) = x_{n}$ .

(Questo esercizio sarà usato, insieme al 6, per affrontare i problemi vincolati in sezione 16.5). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1H2’]

E399

[1H3] Prerequisiti: 1, 1, 2, 2, 6, 398, 4 e 3.
Difficoltà:**.

Per questo esercizio sono necessarie definizioni e risultati presentati nel capitolo 20.

Sia $r \geq 1$ intero, o $r = \infty$ . Sia $F : ℝ^{2} \to ℝ$ di classe $C^{r}$ , e tale che $\nabla F \neq 0$ in ogni punto in cui $F = 0$ .

Sappiamo da che 1 che ${F = 0}$ è l’unione disgiunta di componenti connesse, da 1 che ogni componente connessa è un chiuso.

Mostrate che, per ogni componente connessa $K$ , vi è un aperto $A \supseteq K$ tale che $K = A \cap {F = 0}$ , e che dunque vi è un numero al più numerabile di componenti connesse.

Mostrate che ogni componente connessa è il sostegno di una curva semplice immersa e di classe $C^{r}$ , di uno dei seguenti due tipi:

la curva è chiusa, oppure
la curva $𝛾 : ℝ \to ℝ^{2}$ non è chiusa e è illimitata (cioè $lim_{t \to \pm \infty} | 𝛾 (t) | = \infty$ ).

Il primo caso si verifica se e solo se la componente connessa è un compatto.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1H4’][UNACCESSIBLE UUID ’1H5’]Please see PDF