16.4 Teorema di funzione implicita [2D4]
Useremo il Teorema di Funzione Implicita, nella versione a più variabili (Teorema 7.7.4 in [ 3 ] ). Lo riportiamo qui per comodità, con alcune piccole modifiche nelle notazioni.
[1GD] Sia
Esiste allora un intorno “cilindrico”
dove
è la palla aperta in
con
Questo significa che, per ogni
Inoltre, se
- E399
[1GF] Consideriamo la seguente funzione di 2 variabili di classe
Verificate che
non sia vuoto; indi, per ogni punto del piano dove questa si annulla discutete se si può applicare il teorema di funzione implicita, e dunque se l’insieme è localmente grafico di funzione . Studiate inoltre l’insieme : è compatto? Quante componenti connesse vi sono?(Tenere presente quanto mostrato in 4).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1GG’]
- E399
[1GJ] Ripetete lo studio dell’esercizio 1 precedente per la funzione
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1GK’][UNACCESSIBLE UUID ’1GN’]
- E399
[1GP]Note:Esercizio 2, Compito scritto del 30 Giugno 2017.Ripetete lo studio dell’esercizio precedente per la funzione
Mostrare che il luogo di zeri non è compatto.
- E399
[1GQ]Sia
aperto e siano differenziabili, e tali che in si ha che sono linearmente indipendenti e che : mostrare che l’insieme è una curva in un intorno di .(Sugg. considerate che il prodotto vettore
è nonnullo se e solo se i vettori sono linearmente indipendenti — infatti è formato dai determinanti dei minori della matrice Jacobiana; assumendo senza perdita di generalità che , mostrate che è localmente il grafico di una funzione .)Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1GR’]
- E399
[1GS] Note:Compito scritto 4 Luglio 2018.La figura 4 mostra l’insieme
.Si dimostrino rigorosamente le seguenti proprietà:
in ogni punto
sono soddisfatte le ipotesi del Teorema della funzione implicita; coincide con il grafico, nella forma , di un’unica funzione definita su ; è connesso; .Mostrate (almeno intuitivamente) che esiste
con la proprietà che è decrescente per , crescente per .
Figura 4 Figura per esercizio 5. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1GV’]
- E399
[1GW] Sia
l’insieme di rette orizzontaliTrovate una funzione
, di classe tale che .Dimostrate che necessariamente
.Sia ora
. Notate che esiste una funzione tale che e ! Difatti la funzione è l’unica funzione con tali caratteristiche. Dunque una parte della tesi nel teorema di funzione implicita è soddisfatta.Spiegate dunque precisamente perché la tesi del teorema di funzione implicita non è soddisfatta.
Estensioni
Vediamo ora alcune varianti del teorema “standard”.
- E399
-
Lavoriamo nelle ipotesi del teorema 398. Mostrate che se
è Lipschitziana di costante per ogni fissato cioè(e
non dipende da ) allora è Lipschitziana di costante . Che rapporto vi è fra le costanti e ?Similmente se
è Hölderiana.Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1GY’]
- E399
[1GZ] Nelle stesse ipotesi del precedente teorema 398, mostrate che esistono
e una funzione continua dove e è aperto in , tali cheViceversa se
e e allora .Notate che la precedente relazione significa che, per ogni fissato
, la funzione è l’inversa della funzione (quando definite su opportuni intervalli aperti).Dunque si ha anche che la funzione
è sempre differenziabile rispetto ad , e la derivata parziale èLe altre derivate invece (ovviamente) sono come nel teorema 398.
La regolarità di
è la stessa di : se è Lipschitziana allora è Lipschitziana; se allora .Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1H0’]
- E399
[1H1] Nelle stesse ipotesi dell’esercizio 2, assumiamo inoltre che
.Decomponiamo
come già fatto per . Definiamo la funzione come . Sia l’immagine di , mostrate che e che è aperto.Mostrate che è
è un diffeomorfismo; e che la sua inversa è la mappa .Poniamo
. Mostrate che .
(Questo esercizio sarà usato, insieme al 6, per affrontare i problemi vincolati in sezione 16.5). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1H2’]
- E399
[1H3] Prerequisiti: 1, 1, 2, 2, 6, 398, 4 e 3.
Difficoltà:**.Per questo esercizio sono necessarie definizioni e risultati presentati nel capitolo 20.
Sia
intero, o . Sia di classe , e tale che in ogni punto in cui .Sappiamo da che 1 che
è l’unione disgiunta di componenti connesse, da 1 che ogni componente connessa è un chiuso.Mostrate che, per ogni componente connessa
, vi è un aperto tale che , e che dunque vi è un numero al più numerabile di componenti connesse.Mostrate che ogni componente connessa è il sostegno di una curva semplice immersa e di classe
, di uno dei seguenti due tipi:la curva è chiusa, oppure
la curva
non è chiusa e è illimitata (cioè ).
Il primo caso si verifica se e solo se la componente connessa è un compatto.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1H4’][UNACCESSIBLE UUID ’1H5’]Please see PDF