16.4 Teorema di funzione implicita [2D4]

Useremo il Teorema di Funzione Implicita, nella versione a più variabili (Teorema 7.7.4 in [ 3 ] ). Lo riportiamo qui per comodità, con alcune piccole modifiche nelle notazioni.

Teorema 398 Teorema delle funzioni implicite in n

[1GD] Sia f:An continua, con A aperto, e sia x=(x,xn)A tale che xnf esiste in un intorno di x, è continua in x e xnf(x)0. Poniamo a=f(x).

Esiste allora un intorno “cilindrico” U di x

U=U×J

dove

U=B(x,𝛼)

è la palla aperta in n1 centrata in x di raggio 𝛼>0, e

J=(xn𝛽,xn+𝛽)

con 𝛽>0. Per questo intorno si ha che Uf1({a}) coincide con il grafico xn=g(x), con g:UJ continua.

Questo significa che, per ogni x=(x,xn)U, si ha f(x)=a se e solo se xn=g(x).

Inoltre, se f è di classe Ck su A per qualche k, allora g è di classe Ck su U e vale

gxi(x)=fxi(x,g(x))fxn(x,g(x))xU,i,1in1.
399

E399

[1GF] Consideriamo la seguente funzione di 2 variabili di classe C

f(x,y)=x3+y41.

Verificate che {f=0}={(x,y)2:f(x,y)=0} non sia vuoto; indi, per ogni punto del piano dove questa si annulla discutete se si può applicare il teorema di funzione implicita, e dunque se l’insieme {f=0} è localmente grafico di funzione C. Studiate inoltre l’insieme {f=0}: è compatto? Quante componenti connesse vi sono?

(Tenere presente quanto mostrato in 4).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1GG’]

E399

[1GJ] Ripetete lo studio dell’esercizio 1 precedente per la funzione

f(x,y)=sin(x+y)+x2.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1GK’][UNACCESSIBLE UUID ’1GN’]

E399

[1GP]Note:Esercizio 2, Compito scritto del 30 Giugno 2017.Ripetete lo studio dell’esercizio precedente per la funzione

f(x,y)=1+4x+exy+y4.

Mostrare che il luogo di zeri non è compatto.

E399

[1GQ]Sia A3 aperto e siano f,g:A differenziabili, e tali che in p0=(x0,y0,z0)A si ha che f(p0),g(p0) sono linearmente indipendenti e che f(p0)=g(p0)=0: mostrare che l’insieme E={f=0,g=0} è una curva in un intorno di p0.

(Sugg. considerate che il prodotto vettore w=f(p0)×g(p0) è nonnullo se e solo se i vettori sono linearmente indipendenti — infatti è formato dai determinanti dei minori della matrice Jacobiana; assumendo senza perdita di generalità che w30, mostrate che E è localmente il grafico di una funzione (x,y)=𝛾(z).)

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1GR’]

E399

[1GS] Note:Compito scritto 4 Luglio 2018.La figura 4 mostra l’insieme E={(x,y):yex+xey=1}.

Si dimostrino rigorosamente le seguenti proprietà:

  1. in ogni punto (x0,y0)E sono soddisfatte le ipotesi del Teorema della funzione implicita;

  2. E{(x,y):x>0} coincide con il grafico, nella forma y=f(x), di un’unica funzione f definita su (0,+);

  3. E è connesso;

  4. limx+f(x)=0.

  5. Mostrate (almeno intuitivamente) che esiste x0>0 con la proprietà che f è decrescente per 0<x<x0, crescente per x>x0.

\includegraphics[width=6cm, height=6cm,keepaspectratio]{UUID/1/G/T/blob_zxx}
Figura 4 Figura per esercizio 5.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1GV’]

E399

[1GW] Sia E l’insieme di rette orizzontali

E={(x,0):x}n=1{(x,1/n):x}.

Trovate una funzione f:2, f=f(x,y) di classe C1 tale che E={(x,y):f(x,y)=0}.

Dimostrate che necessariamente yf(0,0)=0.

Sia ora (x,y)=(0,0). Notate che esiste una funzione g: tale che g(0)=0 e f(x,g(x))=0! Difatti la funzione g0 è l’unica funzione con tali caratteristiche. Dunque una parte della tesi nel teorema di funzione implicita è soddisfatta.

Spiegate dunque precisamente perché la tesi del teorema di funzione implicita non è soddisfatta.

Estensioni

Vediamo ora alcune varianti del teorema “standard”.

E399

[1GX]Prerequisiti:357.

Lavoriamo nelle ipotesi del teorema 398. Mostrate che se f(,y) è Lipschitziana di costante L per ogni fissato y cioè

|f(x1,y)f(x2,y)|L|x1x2|  x1,x2U,yJ

(e L>0 non dipende da x1,x2,y) allora g è Lipschitziana di costante L. Che rapporto vi è fra le costanti L e L?

Similmente se f è Hölderiana.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1GY’]

E399

[1GZ] Nelle stesse ipotesi del precedente teorema 398, mostrate che esistono ε>0 e una funzione continua g~:V dove I=(aε,a+ε) e V=U×I è aperto in n, tali che

(x,a)V,(x,g~(x,a))Uef(x,g~(x,a))=a.
400

Viceversa se xU e a=f(x) e aI allora xn=g~(x,a).

Notate che la precedente relazione significa che, per ogni fissato xU, la funzione g~(x,) è l’inversa della funzione f(x,) (quando definite su opportuni intervalli aperti).

Dunque si ha anche che la funzione g~ è sempre differenziabile rispetto ad a, e la derivata parziale è

 ag~(x,a)=1 xnf(x,g~(x,a)).

Le altre derivate invece (ovviamente) sono come nel teorema 398.

La regolarità di g~ è la stessa di g: se f è Lipschitziana allora g~ è Lipschitziana; se fCk(U) allora g~Ck(V).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1H0’]

E399

[1H1] Nelle stesse ipotesi dell’esercizio 2, assumiamo inoltre che fC1(A).

  • Decomponiamo y=(y,yn),n come già fatto per x. Definiamo la funzione G:Vn come G(y)=(y,g~(y)). Sia W=G(V) l’immagine di V, mostrate che WU e che W è aperto.

  • Mostrate che è G:VW è un diffeomorfismo; e che la sua inversa è la mappa F(x)=(x,f(x)).

  • Poniamo f~=fG. Mostrate che f~(x)=xn.

(Questo esercizio sarà usato, insieme al 6, per affrontare i problemi vincolati in sezione 16.5). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1H2’]

E399

[1H3] Prerequisiti: 1, 1, 2, 2, 6, 398, 43.
Difficoltà:**.

Per questo esercizio sono necessarie definizioni e risultati presentati nel capitolo 20.

Sia r1 intero, o r=. Sia F:2 di classe Cr, e tale che F0 in ogni punto in cui F=0.

Sappiamo da che 1 che {F=0} è l’unione disgiunta di componenti connesse, da 1 che ogni componente connessa è un chiuso.

Mostrate che, per ogni componente connessa K, vi è un aperto AK tale che K=A{F=0}, e che dunque vi è un numero al più numerabile di componenti connesse.

Mostrate che ogni componente connessa è il sostegno di una curva semplice immersa e di classe Cr, di uno dei seguenti due tipi:

  • la curva è chiusa, oppure

  • la curva 𝛾:2 non è chiusa e è illimitata (cioè limt±|𝛾(t)|=).

Il primo caso si verifica se e solo se la componente connessa è un compatto.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1H4’][UNACCESSIBLE UUID ’1H5’]Please see PDF