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17.4 Teorema di funzione implicita [2D4]

Useremo il Teorema di Funzione Implicita, nella versione a più variabili (Teorema 7.7.4 in [ 3 ] ). Lo riportiamo qui per comodità, con alcune piccole modifiche nelle notazioni.

Teorema 399 Teorema delle funzioni implicite in $ℝ^ n$

[1GD] Sia $f:A⊆ℝ^ n→ℝ$ continua, con $A$ aperto, e sia $\overline x=(\overline x',\overline x_ n)∈ A$ tale che $∂_{x_ n} f$ esiste in un intorno di $\overline x$, è continua in $\overline x$ e $∂_{x_ n}f(\overline x) ≠0$. Poniamo $\overline a=f(\overline x)$.

Esiste allora un intorno “cilindrico” $U$ di $\overline x$

\[ U=U'× J \]

dove

\[ U'=B(\overline x',𝛼) \]

è la palla aperta in $ℝ^{n-1}$ centrata in $\overline x'$ di raggio $𝛼{\gt}0$, e

\[ J= (\overline x_ n-𝛽,\overline x_ n+𝛽) \]

con $𝛽{\gt}0$. Per questo intorno si ha che $U∩ f^{-1}(\{ \overline a\} )$ coincide con il grafico $x_ n=g(x')$, con $g:U'\to J$ continua.

Questo significa che, per ogni $x=(x',x_ n)∈ U$, si ha $f(x)=\overline a$ se e solo se $x_ n=g(x')$.

Inoltre, se $f$ è di classe $C^ k$ su $A$ per qualche $k∈ℕ^*$, allora $g$ è di classe $C^ k$ su $U'$ e vale

\begin{equation} \label{der_ g_ 2} \def\de {∂} \frac{∂g}{∂x_ i}(x')=-\frac{\displaystyle \frac{∂f}{∂x_ i}\big(x',g(x'))}{\displaystyle \frac{∂f}{∂x_ n}\big(x',g(x'))} \qquad \forall x'∈ U', \forall i, 1≤ i≤ n-1\quad . \end{equation}

400

E400

[1GF] Consideriamo la seguente funzione di 2 variabili di classe $C^∞$

\[ {f}(x,y)= x^ 3+y^ 4-1 \quad . \]

Verificate che $\{ f=0\} =\{ (x,y)∈ℝ^ 2: f(x,y)=0\} $ non sia vuoto; indi, per ogni punto del piano dove questa si annulla discutete se si può applicare il teorema di funzione implicita, e dunque se l’insieme $\{ f=0\} $ è localmente grafico di funzione $C^∞$. Studiate inoltre l’insieme $\{ f=0\} $: è compatto? Quante componenti connesse vi sono?

(Tenere presente quanto mostrato in 4).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1GG’]

E400

[1GJ] Ripetete lo studio dell’esercizio 1 precedente per la funzione

\[ f(x,y)= \sin (x+y)+x^ 2\quad . \]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1GK’][UNACCESSIBLE UUID ’1GN’]

E400

[1GP]Note:Esercizio 2, Compito scritto del 30 Giugno 2017.Ripetete lo studio dell’esercizio precedente per la funzione

\[ f(x,y)= 1 + 4x + e^ x y + y^ 4\quad . \]

Mostrare che il luogo di zeri non è compatto.

E400

[1GQ]Sia $A⊂ ℝ^ 3$ aperto e siano $f,g:A→ℝ$ differenziabili, e tali che in $p_ 0=(x_ 0,y_ 0,z_ 0)∈ A$ si ha che $∇ f(p_ 0),∇ g(p_ 0) $ sono linearmente indipendenti e che $f(p_ 0)=g(p_ 0)=0$: mostrare che l’insieme $E=\{ f=0,g=0\} $ è una curva in un intorno di $p_ 0$.

(Sugg. considerate che il prodotto vettore $w=∇ f(p_ 0)× ∇ g(p_ 0)$ è nonnullo se e solo se i vettori sono linearmente indipendenti — infatti è formato dai determinanti dei minori della matrice Jacobiana; assumendo senza perdita di generalità che $w_ 3≠ 0$, mostrate che $E$ è localmente il grafico di una funzione $(x,y)=𝛾(z)$.)

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1GR’]

E400

[1GS] Note:Compito scritto 4 Luglio 2018.La figura 4 mostra l’insieme $E=\big\{ (x,y): ye^ x+xe^ y=1\big\} $.

Si dimostrino rigorosamente le seguenti proprietà:

in ogni punto $(x_ 0,y_ 0)∈ E$ sono soddisfatte le ipotesi del Teorema della funzione implicita;
$E∩\big\{ (x,y): x{\gt}0\big\} $ coincide con il grafico, nella forma $y=f(x)$, di un’unica funzione $f$ definita su $(0,+∞)$;
$E$ è connesso;
$\lim _{x→+∞} f(x)=0$.
Mostrate (almeno intuitivamente) che esiste $x_ 0{\gt}0$ con la proprietà che $f$ è decrescente per $0{\lt}x{\lt}x_ 0$, crescente per $x{\gt}x_ 0$.

$\includegraphics[width=6cm, height=6cm,keepaspectratio]{UUID/1/G/T/blob_zxx}$

Figura 4 Figura per esercizio 5.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1GV’]

E400

[1GW] Sia $E$ l’insieme di rette orizzontali

\[ E = \{ (x,0):x∈ℝ\} ∪ ⋃_{n=1}^∞ \{ (x,1/n):x∈ℝ\} \quad . \]

Trovate una funzione $f:ℝ^ 2→ℝ$, $f=f(x,y)$ di classe $C^ 1$ tale che $E=\{ (x,y) : f(x,y)=0 \} $.

Dimostrate che necessariamente $∂_{y} f(0,0)=0$.

Sia ora $(\overline x,\overline y)=(0,0)$. Notate che esiste una funzione $g:ℝ→ℝ$ tale che $g(0)=0$ e $f(x,g(x))=0$! Difatti la funzione $g≡ 0$ è l’unica funzione con tali caratteristiche. Dunque una parte della tesi nel teorema di funzione implicita è soddisfatta.

Spiegate dunque precisamente perché la tesi del teorema di funzione implicita non è soddisfatta.

Estensioni

Vediamo ora alcune varianti del teorema “standard”.

E400

[1GX]Prerequisiti:358.

Lavoriamo nelle ipotesi del teorema 399. Mostrate che se $f(⋅,y)$ è Lipschitziana di costante $L$ per ogni fissato $y$ cioè

\[ | f(x_ 1',y)- f(x_ 2',y)|≤ L |x_ 1'-x_ 2'|~ ~ ∀ x_ 1',x_ 2∈ U',y∈ J \]

(e $L{\gt}0$ non dipende da $x_ 1',x_ 2',y$) allora $g$ è Lipschitziana di costante $L'$. Che rapporto vi è fra le costanti $L$ e $L'$?

Similmente se $f$ è Hölderiana.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1GY’]

E400

[1GZ] Nelle stesse ipotesi del precedente teorema 399, mostrate che esistono $\varepsilon {\gt}0$ e una funzione continua $\tilde g:V→ ℝ$ dove $I=(\overline a-\varepsilon ,\overline a+\varepsilon )$ e $V=U'× I$ è aperto in $ℝ^ n$, tali che

\begin{equation} ∀ (x',a)∈ V \quad ,\quad (x',\tilde g(x',a))∈ U \quad \text{e} \quad f\big(x',\tilde g(x',a)\big)=a \quad .\label{eq:tilde_ g_ teor_ funz_ inv} \end{equation}

401

Viceversa se $x∈ U$ e $a=f(x)$ e $a∈ I$ allora $x_ n=\tilde g(x',a)$.

Notate che la precedente relazione significa che, per ogni fissato $x'∈ U'$, la funzione $\tilde g(x',⋅)$ è l’inversa della funzione $f(x',⋅)$ (quando definite su opportuni intervalli aperti).

Dunque si ha anche che la funzione $\tilde g$ è sempre differenziabile rispetto ad $a$, e la derivata parziale è

\[ \frac{\partial ~ }{\partial {a}} \tilde g(x',a)=\frac{1}{\frac{\partial ~ }{\partial {x_ n}} f(x',\tilde g(x',a))}\quad . \]

Le altre derivate invece (ovviamente) sono come nel teorema 399.

La regolarità di $\tilde g$ è la stessa di $g$: se $f$ è Lipschitziana allora $\tilde g$ è Lipschitziana; se $f∈ C^ k(U)$ allora $\tilde g∈ C^ k(V)$.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1H0’]

E400

[1H1] Nelle stesse ipotesi dell’esercizio 2, assumiamo inoltre che $f∈ C^ 1(A)$.

Decomponiamo $y=(y',y_ n),∈ℝ^ n$ come già fatto per $x$. Definiamo la funzione $G:V→ ℝ^ n$ come $G(y)=(y',\tilde g(y))$. Sia $W=G(V)$ l’immagine di $V$, mostrate che $W⊆ U$ e che $W$ è aperto.
Mostrate che è $G:V→ W$ è un diffeomorfismo; e che la sua inversa è la mappa $F(x)=(x',f(x))$.
Poniamo $\tilde f = f ◦ G$. Mostrate che $\tilde f(x)=x_ n$.

(Questo esercizio sarà usato, insieme al 6, per affrontare i problemi vincolati in sezione 17.5). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1H2’]

E400

[1H3] Prerequisiti: 1, 1, 2, 2, 6, 399, 4 e 3.
Difficoltà:**.

Per questo esercizio sono necessarie definizioni e risultati presentati nel capitolo 21.

Sia $r≥ 1$ intero, o $r=∞$. Sia $F:ℝ^ 2→ℝ$ di classe $C^ r$, e tale che $∇ F≠ 0$ in ogni punto in cui $F=0$.

Sappiamo da che 1 che $\{ F=0\} $ è l’unione disgiunta di componenti connesse, da 1 che ogni componente connessa è un chiuso.

Mostrate che, per ogni componente connessa $K$, vi è un aperto $A⊇ K$ tale che $K=A∩ \{ F=0\} $, e che dunque vi è un numero al più numerabile di componenti connesse.

Mostrate che ogni componente connessa è il sostegno di una curva semplice immersa e di classe $C^ r$, di uno dei seguenti due tipi:

la curva è chiusa, oppure
la curva $𝛾:ℝ→ℝ^ 2$ non è chiusa e è illimitata (cioè $\lim _{t→ ±∞}|𝛾(t)|=∞$).

Il primo caso si verifica se e solo se la componente connessa è un compatto.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1H4’][UNACCESSIBLE UUID ’1H5’]Please see PDF