EDB — 1GD

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Teorema 47

[1GD] Sia \(f:A⊆ℝ^ n→ℝ\) continua, con \(A\) aperto, e sia \(\overline x=(\overline x',\overline x_ n)∈ A\) tale che \(∂_{x_ n} f\) esiste in un intorno di \(\overline x\), è continua in \(\overline x\) e \(∂_{x_ n}f(\overline x) ≠0\). Poniamo \(\overline a=f(\overline x)\).

Esiste allora un intorno “cilindrico” \(U\) di \(\overline x\)

\[ U=U'× J \]

dove

\[ U'=B(\overline x',𝛼) \]

è la palla aperta in \(ℝ^{n-1}\) centrata in \(\overline x'\) di raggio \(𝛼{\gt}0\), e

\[ J= (\overline x_ n-𝛽,\overline x_ n+𝛽) \]

con \(𝛽{\gt}0\). Per questo intorno si ha che \(U∩ f^{-1}(\{ \overline a\} )\) coincide con il grafico \(x_ n=g(x')\), con \(g:U'\to J\) continua.

Questo significa che, per ogni \(x=(x',x_ n)∈ U\), si ha \(f(x)=\overline a\) se e solo se \(x_ n=g(x')\).

Inoltre, se \(f\) è di classe \(C^ k\) su \(A\) per qualche \(k∈ℕ^*\), allora \(g\) è di classe \(C^ k\) su \(U'\) e vale

\begin{equation} \label{der_ g_ 2} \def\de {∂} \frac{∂g}{∂x_ i}(x')=-\frac{\displaystyle \frac{∂f}{∂x_ i}\big(x',g(x'))}{\displaystyle \frac{∂f}{∂x_ n}\big(x',g(x'))} \qquad \forall x'∈ U', \forall i, 1≤ i≤ n-1\quad . \end{equation}
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Bibliografia
Indice analitico
  • teorema, di funzione implicita
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