[1GD] Sia \(f:A⊆ℝ^ n→ℝ\) continua, con \(A\) aperto, e sia \(\overline x=(\overline x',\overline x_ n)∈ A\) tale che \(∂_{x_ n} f\) esiste in un intorno di \(\overline x\), è continua in \(\overline x\) e \(∂_{x_ n}f(\overline x) ≠0\). Poniamo \(\overline a=f(\overline x)\).
Esiste allora un intorno “cilindrico” \(U\) di \(\overline x\)
dove
è la palla aperta in \(ℝ^{n-1}\) centrata in \(\overline x'\) di raggio \(𝛼{\gt}0\), e
con \(𝛽{\gt}0\). Per questo intorno si ha che \(U∩ f^{-1}(\{ \overline a\} )\) coincide con il grafico \(x_ n=g(x')\), con \(g:U'\to J\) continua.
Questo significa che, per ogni \(x=(x',x_ n)∈ U\), si ha \(f(x)=\overline a\) se e solo se \(x_ n=g(x')\).
Inoltre, se \(f\) è di classe \(C^ k\) su \(A\) per qualche \(k∈ℕ^*\), allora \(g\) è di classe \(C^ k\) su \(U'\) e vale