17.3 Derivate parziali e totali, differenziali[2D3]
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[1FX]Verificate che le seguenti derivate parziali esistono e calcolatele:
\begin{align*} \frac{\partial ~ }{\partial {x}} {\Big( 4xy + 3x^ 2 y -z y^ 2 \Big)}~ ~ & ,~ ~ \frac{\partial ~ }{\partial {y}} \Big( 4xy + 3x^ 2 y -z y^ 2 \Big)\\ \frac{\partial ~ }{\partial {x}} { \frac{ze^{x+|y|}}{1+x^ 2|y|} }~ ~ & ,~ ~ \frac{\partial ~ }{\partial {z}} \frac{ze^{x+|y|}}{1+x^ 2|y|} \end{align*}Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1FY’]
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[1FZ] Prerequisiti:integrale di Riemann,2.Sia \(I⊆ ℝ\) intervallo aperto con \(0∈ I\). Data \(f=f(x,y):I×[0,1]→ℝ\) continua e tale che anche \(\frac{∂ }{∂ x} f\) esiste ed è continua, posto
\[ g(x)=∫_ 0^ 1 f(x,y) \, {\mathbb {d}}y\quad , \]mostrate che \(g\) è di classe \(C^ 1\), e che
\[ g'(x)=∫_ 0^ 1 \frac{\partial ~ }{\partial {x}} f(x,y) \, {\mathbb {d}}y~ . \]Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1G0’][UNACCESSIBLE UUID ’1G1’]
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[1G2] Prerequisiti:integrale di Riemann, 6, 6, 2.Sia
\[ h(t) = ∫_{a(t)}^{b(t)} f(t,z) \, {\mathbb {d}}z \]dove \(a,b,f\) sono funzioni di classe \(C^ 1\): mostrate che \(h\) è di classe \(C^ 1\) e calcolate la derivata.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1G3’]
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[1G4]Le seguenti funzioni sono differenziabili in \((0,0)\)?
\begin{align*} f_ 1(x,y)= \begin{cases} x+y & \text{se}~ x{\gt}0\\ x+ye^{-x^ 2} & \text{se}~ x≤ 0 \end{cases}& ,& f_ 2(x,y) = \sqrt{x^ 2+y^ 2} \\ f_ 3(x,y) = \left( \arctan (y+1)\right)^{x+1} & ,& f_ 4(x,y) =\max \{ x^ 2, y^ 2\} ~ ~ . \end{align*}Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1G5’]
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[1G6]Prerequisiti:1.Sia \(f:ℝ^ k→ℝ\) di classe \(C^∞\). Ricordiamo che, per il Teorema di Schwarz, invertendo le operazioni di derivazione parziale di \(f\), il risultato non cambia. Sia \(N(n,k)\) il numero di derivate parziali (potenzialmente diverse) di ordine \(n\): mostrate che \(N(n,k)=\binom {n+k-1}{k-1}\) (che è un polinomio a coefficienti interi nella variabile \(n\), di ordine \(k-1\)). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1G7’]
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[1G8] Sia \(W⊆ ℝ^ n\) aperto non vuoto, sia \(\overline x∈ W\). Sia poi \(𝜓:W→ℝ\) di classe \(C^ 2\). Sia \(∇𝜓(\overline x)\) il vettore riga di coordinate \(\frac{\partial ~ }{\partial {x_ k}} 𝜓(\overline x)\) (che è il gradiente di \(𝜓\), caso particolare della “matrice Jacobiana”); lo abbreviamo a \(D=∇𝜓(\overline x)\) per semplicità; sia \(H\) la matrice Hessiana di componenti \(H_{h,k}= \frac{\partial {}^ 2}{\partial {x_ k x_ h}}𝜓 (\overline x) \); si mostri la validità della formula di Taylor al secondo ordine
\[ 𝜓 (\overline x+v) = 𝜓 (\overline x) + D v + \frac 1 2 v^ t H v + o(|v|^ 2) \](notate che il prodotto \(D v\) è una matrice \(1× 1\) che identifichiamo con un numero reale, e similmente per \(v^ t H v\)).
\(\overline x\) è un punto stazionario per \(𝜓\) se e solo se \(\overline y\) è punto stazionario anche per \(\tilde𝜓\),
e in questo caso gli Hessiani di \(𝜓\) e di \(\tilde𝜓\) sono simili (cioè le matrici sono uguali a meno di cambio di coordinate).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1GC’]