4 Numeri naturali[1X9]

Vogliamo propriamente definire l’insieme

\[ {\mathbb N}=\{ 0,1,2,\ldots \} \]

dei numeri naturali.

Un possibile modello, come mostrato in Sez. 3.8, è ottenuto appoggiandosi alla teoria di Zermelo—Fraenkel.

Qui invece presentiamo gli assiomi di Peano, espressi usando la versione intuitiva della teoria degli insiemi.

Definizione 130 Assiomi di Peano

[1XB](Svolto il 2022-11-03)

(N1): Esiste un numero \(0∈ ℕ\).
(N2): Esiste una funzione \(S:ℕ → ℕ\) (chiamata "successore"), tale che ¹
(N3): \(S(x)≠ 0\) per ogni \(x∈ ℕ\) e
(N4): \(S\) è iniettiva, cioè \(x≠ y\) implica \(S(x)≠ S(y)\).
(N5): Se \(U\) è un sottoinsieme di \(ℕ\) tale che: \(0∈ U\) e \(∀ x, x ∈ U⇒ S(x)∈ U\) , allora \(U=ℕ\).

Spesso scriveremo \(Sn\) invece di \(S(n)\) per semplicità.

Dai precedenti seguono subito due importanti proprietà. Uno è il principio di induzione, si veda 133. L’altro è lasciato per esercizio.

Esercizio 131

[1YP] Mostrate che ogni \(n∈ℕ\) con \(n≠ 0\) è successore di un altro \(k∈ℕ\), dimostrando per induzione su \(n\) questa proposizione

\[ P(n) \, {\stackrel{.}{=}}\, (n=0) ∨ (∃ k ∈ℕ, S(k)=n) \quad . \]

Questo dimostra che la funzione successore

\[ S:ℕ → ℕ⧵\{ 0\} \]

è bigettiva.

Se \(n\neq 0\) chiameremo \(S^{-1}(n)\) il predecessore di \(n\).

(Parte di questo risultato vale più in generale, si veda in 1)

L’idea è che la funzione successore codifica gli usuali numeri secondo lo schema

\[ 1=S(0),\quad 2=S(1), \quad 3=S(2)\ldots \]

e (avendo definito l’addizione) si avrà che \(S(n)=n+1\).

Esercizio 132

[1XD]Prerequisiti:132.Togliendo a turno uno degli assiomi (N1)—(N5), descrivete un insieme che soddisfa gli altri ma non è isomorfo ai naturali.