10.7 Topologia nello spazio euclideo[2C7]
Nel seguito consideriamo lo spazio metrico \({\mathbb {R}}^ n\) con la usuale distanza euclidea.
- E296
[0SM] Prerequisiti:286.Sia \(B(x,r){\stackrel{.}{=}}\{ y∈ ℝ^ n : |x-y|{\lt} r\} \) la palla; sia \(D(x,r){\stackrel{.}{=}}\{ y∈ ℝ^ n : |x-y|≤ r\} \) il disco; sia \(S(x,r){\stackrel{.}{=}}\{ y∈ ℝ^ n : |x-y|= r\} \) la sfera. Si mostri che \(\overline{B(x,r)}= D(x,r)\), che \(B(x,r)= {{D(x,r)}^\circ }\), e che \(∂{B(x,r)}= S(x,r)\). Si mostri inoltre che \(B(x,r)\) non è chiuso e \(D(x,r)\) non è aperto.
(Questo risultato vale più in generale in ogni spazio normato: si veda 4).
- E296
[0SN] Prerequisiti:2, 6. Data una successione \((x_ k)_ k⊆ ℝ^ n\), questi fatti sono equivalenti
- a
la successione è limitata e ha un unico punto limite \(x\)
- b
\(\lim _ k x_ k=x\).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0SP’] Si veda anche 1.
- E296
[0SQ] Prerequisiti:6, 7.Per ogni \(A⊆ ℝ^ n\) chiuso non-vuoto, esiste \(B⊆ A\) tale che \(A=∂ B\).
In quali casi si può trovare \(B\) numerabile?
In quali casi si può trovare \(B\) chiuso?
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0SR’][UNACCESSIBLE UUID ’0SS’]
Si veda anche 2.
Si può trovare \(F⊆ E\)?
[UNACCESSIBLE UUID ’0SW’] Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0SX’][UNACCESSIBLE UUID ’0SY’] [UNACCESSIBLE UUID ’0SZ’] [0T0]Quali sono gli insiemi \(A\subset {\mathbb {R}}^ n\) che sono sia aperti che chiusi?
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0T2’] [0T3] Sia \(f:ℝ →ℝ^ n\) continua; si mostri che queste due condizioni sono equivalenti
\(\lim _{t→∞} |f(t)|=+∞\) e \(\lim _{t→-∞} |f(t)|=+∞\);
\(f\) è propria, cioè per ogni compatto \(K⊂ℝ^ n\) si ha che la controimmagine \(f^{-1}(K)\) è un compatto di \(ℝ\).
[0T4] Prerequisiti:Sezione 8.9.Mostrate che \(ℝ^ N\) soddisfa il secondo assioma di numerabilità. [0T5] Prerequisiti:1. Note:esercizio 4 nel compito del 13/1/2011.
Se \(A⊆ ℝ^ n\) è composto solo da punti isolati, allora \(A\) ha cardinalità numerabile o finita.
Viceversa dunque se \(A⊆ ℝ^ n\) è più che numerabile allora il derivato \(D(A)\) è non vuoto.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0T6’] [0T7] Sia \(A⊂ℝ^ n\) limitato. Per ogni \(\varepsilon {\gt}0\) esiste un insieme \(I⊂ A\) soddisfacente:
\(I\) è finito,
\(∀ x,y∈ I\), \(x≠ y\) si ha \(x∉ B(y,\varepsilon )\) (cioè \(d(x,y)≥ \varepsilon \)),
- \[ A⊆ ⋃_{x∈ I} B(x,\varepsilon )~ ~ . \]
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0T8’] [0T9]Difficoltà:*.Qual è la cardinalità della famiglia degli insiemi aperti in \(ℝ^ n\)?
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0TB’]
[UNACCESSIBLE UUID ’0TC’] [0TD] Sia \(E⊆ ℝ^ n\) non vuoto tale che ogni funzione continua \(f:E→ℝ\) ammetta massimo: si mostri che \(E\) è compatto.
(Si veda 9 per la generalizzazione a spazi metrici)
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0TF’]