10.1 Definizioni[2CC]
Uno spazio metrico è una coppia \((X,d)\) dove \(X\) è un insieme (non vuoto) con associata una distanza \(d\).
[0MS] Una distanza è una funzione \(d:X× X→ [0,∞)\) che gode delle seguenti proprietà:
\(d(x,x)=0\);
(proprietà di separazione) se \(d(x,y)=0\) allora \(x=y\);
(simmetria) \(d(x,y)=d(y,x)\) per ogni \(x,y∈ X\);
(diseguaglianza triangolare) \(d(x,z)≤ d(x,y)+d(y,z)\) per ogni \(x,y,z∈ X\).
[0MT] Dati una successione \((x_ n)_ n⊆ X\) e \(x∈ X\),
[2C1]Dato un insieme \(X\), possiamo sempre associargli la distanza discreta
La topologia generata è la topologia discreta in cui tutti i sottoinsiemi di \(X\) sono aperti.
- E279
[0MV]Data una successione \((x_ n)_ n⊆ X\) mostrate che se converge a un punto allora è di Cauchy.
- E279
[0MW]Data una successione \((x_ n)_ n⊆ X\) mostrate che: se converge a \(x\) e converge a \(y\), allora \(x=y\).
Questo risultato è noto come Teorema dell’unicità del limite.
- E279
[0MX]Generalizziamo la definizione di spazio metrico assumendo che \(d:X→[0,∞]\) (gli altri assiomi sono uguali). Mostrate che la relazione \(x∼ y\) definita da
\[ x∼ y\iff d(x,y){\lt}∞ \]è una relazione di equivalenza, e che le classi di equivalenza sono aperte, e dunque sono sconnesse una dall’altra.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0MY’]
- E279
[0MZ] Date \(f,g\) continue su \(ℝ\), si ponga
\[ d(f,g)=\sup _{x∈ℝ}|f(x)-g(x)|\ . \]Si dimostri che \(d\) è una distanza su \(X=C(ℝ)\), nel senso esteso dell’esercizio 3.
Sia \(f∼ g\iff d(f,g){\lt}∞\) come prima, si mostri che la famiglia delle classi di equivalenza \(\frac X∼\) ha la cardinalità del continuo.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0N0’]
- E279
[0N1] Prerequisiti:15.Note:Vedere anche eserc. 2. Supponiamo che \(𝜑:[0,∞)→[0,∞)\) sia monotona debolmente crescente e subadditiva, cioè \(𝜑(t)+𝜑(s)≥ 𝜑(t+s)\) per ogni \(t,s≥ 0\); e supponiamo che \(𝜑(x)=0\) se e solo se \(x=0\).
Allora \(𝜑◦ d\) è ancora una distanza. Esempi: \(𝜑(t)=\sqrt t\), \(𝜑(t)=t/(1+t)\), \(𝜑(t)=\arctan (t)\), \(𝜑(t)=\min \{ t,1\} \).
Mostrate inoltre che se \(𝜑\) è continua in zero allora la topologia associata è la stessa. 1 Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0N2’]
- E279
[0N3] Se \((x_ n)_ n⊂ X\) è una successione e \(x∈ X\), si mostri che \(\lim _{n→∞} x_ n=x\) se e solo se, per ogni sotto–successione \(n_ k\) esiste una sotto–sotto–successione \(n_{k_ h}\) tale che \(\lim _{h→∞} x_{n_{k_ h}}=x\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0N4’]
- E279
[0N5]Una successione \((x_ n)⊂ X\) è una successione di Cauchy se e solo se
\[ \lim _{N→∞}\sup \{ d(x_ n,x_ m) : n≥ N, m≥ N\} =0~ ~ . \]- E279
[0N6] Una successione \((x_ n)⊂ X\) è una successione di Cauchy se e solo se esiste una successione \(\varepsilon _ n\) con \(\varepsilon _ n≥ 0\) e \(\varepsilon _ n→_ n 0\) per cui per ogni \(n\) e ogni \(m≥ n\) si ha \(d(x_ n,x_ m)≤ \varepsilon _ n\).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0N7’]
- E279
[0N8] Se \((x_ n)⊂ X\) è una successione di Cauchy e esistono \(x\) e una sottosuccessione \(n_ m\) tale che \(\lim _{m→∞} x_{n_ m}=x\) allora \(\lim _{n→∞} x_{n}=x\).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0N9’]
Questo “lemma” è usato in alcune dimostrazioni importanti, ad esempio per mostrare che uno spazio metrico compatto è anche completo.
- E279
[0NC] Sia \(\varepsilon _ n{\gt}0\) una successione decrescente infinitesima. Se \((x_ n)⊂ X\) è una successione di Cauchy esiste una sottosuccessione \(n_ k\) tale che
\[ ∀ k ∈ℕ,~ ∀ h ∈ℕ,~ h{\gt}k ⇒ d(x_{n_ k},x_{n_ h})≤ \varepsilon _ k~ ~ . \]Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0ND’] Questa proprietà viene spesso usata ponendo \(\varepsilon _ n=2^{-n}\), o altra successione la cui serie converge.
- E279
[0NF] Sia \((x_ n)_ n\) una successione tale che \(∑_{n=1}^∞ d(x_ n,x_{n+1}) {\lt} ∞\): si provi che è una successione di Cauchy.
Confrontate questo esercizio, il precedente 10 nel caso in cui \(∑_ n \varepsilon _ n{\lt}∞\), e l’esercizio 9.
- E279
[0NG]Se \((x_ n)⊂ X\) è una successione di Cauchy, \((y_ n)⊂ X\) è un’altra successione, e \(d(x_ n,y_ n)→_ n 0\), allora \((y_ n)⊂ X\) è una successione di Cauchy.
- E279
[0NH] Preso \((X,d)\) uno spazio metrico, si mostri che \(d\) è continua (come funzione \(d:X× X→ℝ\)). Si può anzi mostrare che è lipschitziana, associando a \(X× X\)
\[ \hat d (x,y) = d(x_ 1,y_ 1) + d(x_ 2,y_ 2), \text{ per } x=(x_ 1,x_ 2),y=(y_ 1,y_ 2) \in X× X~ . \]Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0NK’] [UNACCESSIBLE UUID ’0NJ’]
Sia \(𝛼(x)\) una funzione continua su \(ℝ\), limitata e strettamente positiva. Date \(f,g\) continue su \(ℝ\), si ponga
Si dimostri che \(d\) è una distanza su \(C(ℝ)\) e che \(\big(C(ℝ),d\big)\) è completo. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0NP’] [0NQ] Note:Esercizio 2, compito 25 Marzo 2017.
Si dimostri che le seguenti proprietà sono equivalenti per uno spazio metrico \(X\):
ogni successione di elementi di \(X\) ammette una sottosuccessione di Cauchy;
il completamento \(X^*\) di \(X\) è compatto.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0NR’]
[UNACCESSIBLE UUID ’0NS’] [UNACCESSIBLE UUID ’0NT’] [UNACCESSIBLE UUID ’0NV’]