: Estremi superiori e inferiori<a class="btn btn-sm" href="/UUID/EDB/29M/?lang=ita"><span class="ttfamily"><small class="scriptsize">[29M]</small></span></a>

5.3 Estremi superiori e inferiori[29M]

Rivediamo preliminarmente le caratterizzazioni degli estremi superiori e inferiori in $ℝ$ , viste in Sez. ?? (o in Cap. 1 Sec. 5 negli appunti [ 3 ] ). Sia $A \subseteq ℝ$ non vuoto.

Definizione 180

[08T] Sia $A \subseteq ℝ$ non vuoto. Ricordiamo che l’estremo superiore di un insieme $A$ è il minimo dei maggioranti; lo indicheremo con la usuale scrittura $sup A$ . Se $A$ è superiormente limitato allora $sup A$ è un numero reale; in caso contrario, per convenzione, si pone $sup A = + \infty$ .

Proposizione 181

[208](Svolto il 2022-11-24) Sia dunque $A \subseteq ℝ$ non vuoto, sia $l \in ℝ \cup {+ \infty}$ ; si possono facilmente dimostrare le seguenti proprietà:

$sup A \leq l$	$\forall x \in A, x \leq l$
$sup A > l$	$\exists x \in A, x > l$
$sup A < l$	$\exists h < l, \forall x \in A, x \leq h$
$sup A \geq l$	$\forall h < l, \exists x \in A, x > h$

la prima e la terza derivano dalla definizione di estremo superiore, ¹ la seconda e la quarta per negazione; nella terza si può concludere equivalentemente che $x < h$ , e nella quarta che $x \geq h$ .

Se $l \neq + \infty$ allora usa anche scrivere (sostituendo $h = l - ε$ )

$sup A < l$	$\exists ε > 0, \forall x \in A, x \leq l - ε$
$sup A \geq l$	$\forall ε > 0, \exists x \in A, x > l - ε$

Combinando le precedenti, riotteniamo il risultato già visto in 66

Corollario 182

[20K](Svolto il 2022-11-24) Preso $A \subseteq ℝ$ non vuoto, allora $sup A$ è l’unico numero $𝛼 \in ℝ \cup {+ \infty}$ che soddisfa queste due proprietà

\begin{array}{r} \forall x \in A, x \leq 𝛼 \\ \forall h < 𝛼, \exists x \in A, x > h \end{array}

come già visto in 66 per il caso più generale di insiemi totalmente ordinati.

Definizione 183

[209] Similmente, dato $A \subseteq ℝ$ non vuoto, l’estremo inferiore di $A$ è il massimo dei minoranti; lo indicheremo con la usuale scrittura $inf A$ . Se $A$ è inferiormente limitato allora $inf A$ è un numero reale; in caso contrario, per convenzione, si pone $inf A = - \infty$ .

Nota 184

[0B5](Proposto il 2022-11-24) Si noti che se si sostituisce $A$ con

- A = {- x : x \in A}

e $l$ con $- l$ , si passa dalle definizioni del $sup$ a quelle del $inf$ (e viceversa).

Proposizione 185

[20B] Sia $A \subseteq ℝ$ non vuoto, sia $l \in ℝ \cup {- \infty}$ ; valgono le seguenti proprietà:

$inf A \geq l$	$\forall x \in A, x \geq l$
$inf A < l$	$\exists x \in A, x < l$
$inf A > l$	$\exists h > l, \forall x \in A, x \geq h$
$inf A \leq l$	$\forall h > l, \exists x \in A, x < h$

Se $l \neq - \infty$ allora usa anche scrivere (sostituendo $h = l + ε$ )

$inf A > l$	$\exists ε > 0, \forall x \in A, x \geq l + ε$
$inf A \leq l$	$\forall ε > 0, \exists x \in A, x \leq l + ε$

Corollario 186

[20M](Proposto il 2022-11-24) Preso $A \subseteq ℝ$ non vuoto, allora $inf A$ è l’unico numero $𝛼 \in ℝ \cup {- \infty}$ che soddisfa queste due proprietà

\begin{array}{r} \forall x \in A, x \geq 𝛼 \\ \forall h > 𝛼, \exists x \in A, x < h \end{array}

Spesso le precedenti definizioni e proprietà si usano in questa forma.

Definizione 187

[20H] (Svolto il 2022-11-24) Data $J$ famiglia di indici non vuota, sia $a_{n} \in ℝ$ per $n \in J$ . Si definiscono gli estremi superiori e inferiori come

sup_{n \in J} a_{n} = sup A, inf_{n \in J} a_{n} = inf A

dove $A = {a_{n} : n \in J}$ è l’immagine della successione.

Dato $D$ non vuoto, sia $f : D \to ℝ$ una funzione. Si definiscono gli estremi superiori e inferiori come

sup_{x \in D} f (x) = sup A, inf_{x \in D} f (x) = inf A

dove $A = {f (x) : x \in D}$ è l’immagine della funzione.

Esercizi

Siano $I, J$ generici insiemi non vuoti. Si vedano le definizioni in Sez. 5.3

E187

[0B6] (Svolto il 2022-11-24) Sia $a_{n}$ una successione a valori reali, per $n \in I$ un insieme di indici; siano $r > 0, t \in ℝ, 𝜌 < 0$ ; mostrate che

sup_{n \in I} (a_{n} + t) = t + sup_{n \in I} a_{n}, sup_{n \in I} (r a_{n}) = r sup_{n \in I} a_{n}, sup_{n \in I} (𝜌 a_{n}) = 𝜌 inf_{n \in I} a_{n} .

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’22W’]

E187

[0B7] (Svolto il 2022-11-24) Sia $a_{n, m}$ una successione reali a due indici $n \in I, m \in J$ , mostrate che

sup_{n \in I, m \in J} a_{n, m} = sup_{n \in I} (sup_{m \in J} a_{n, m}) .

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0B8’]

E187

[0B9] Prerequisiti:2,1.(Svolto il 2022-11-24) Siano $a_{n}, b_{n}$ successioni reali, per $n \in I$ , mostrate che

sup_{n, m \in I} (a_{n} + b_{m}) = (sup_{n \in I} a_{n}) + (sup_{n \in I} b_{n}),

sup_{n \in I} (a_{n} + b_{n}) \leq (sup_{n \in I} a_{n}) + (sup_{n \in I} b_{n});

trovate un caso in cui la disuguaglianza è stretta. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0BB’]

E187

[0BC] Prerequisiti:2. Siano $A, B \subseteq ℝ$ e sia

A \oplus B = {x + y : x \in A, y \in B}

la somma di Minkowski ² dei due insiemi: mostrate che

sup (A \oplus B) = (sup A) + (sup B) .

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0BD’]

E187

[0BF]Siano $I_{n} \subseteq ℝ$ (per $n \in ℕ$ ) intervalli non vuoti chiusi e limitati, tali che $I_{n + 1} \subseteq I_{n}$ : si mostri che $⋂_{n = 0}^{\infty} I_{n}$ è non vuoto.

Questo risultato è noto come “teorema dell’intersezione di Cantor” [ 45 ] . Si estende a contesti più generali, si vedano 9 e 3.

Se sostituiamo $ℝ$ con $ℚ$ e assumiamo che $I_{n} \subseteq ℚ$ , il risultato vale lo stesso?

E187

[20P](Svolto il 2022-11-24) Si studino le equivalenze in proposizione 181 per il caso in cui $sup A = + \infty$ : cosa dicono le formule a destra?

E187

[20J]Riscrivete le proprietà della proposizione 185 per i casi visti in 187.

E187

[20Y](Proposto il 2022-12) Calcolate estremo superiore e inferiore dei seguenti insiemi (dove $n, m$ sono interi).

\begin{array}{r} {\frac{m n}{m^{2} + n^{2}} : n, m \geq 1}, {\frac{m n}{m + n} : n, m \geq 1} \\ {2^{n} + 2^{m} : n, m \in ℕ}, {2^{n} + 2^{m} : n, m \in ℤ} \\ {\frac{m^{2} - 2}{n} : n, m \in ℤ, n \neq 0}, {\frac{m + 1}{m^{2}} : m \in ℤ, m \neq 0} \end{array}