5.3 Estremi superiori e inferiori[29M]
Rivediamo preliminarmente le caratterizzazioni degli estremi superiori e inferiori in \(ℝ\), viste in Sez. ?? (o in Cap. 1 Sec. 5 negli appunti [ 3 ] ). Sia \(A⊆ ℝ\) non vuoto.
[08T] Sia \(A ⊆ ℝ\) non vuoto. Ricordiamo che l’estremo superiore di un insieme \(A\) è il minimo dei maggioranti; lo indicheremo con la usuale scrittura \(\sup A\). Se \(A\) è superiormente limitato allora \(\sup A\) è un numero reale; in caso contrario, per convenzione, si pone \(\sup A=+∞\).
[208](Svolto il 2022-11-24) Sia dunque \(A⊆ℝ\) non vuoto, sia \(l ∈ ℝ ∪ \{ +∞\} \); si possono facilmente dimostrare le seguenti proprietà:
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\(\sup A ≤ l\) |
\(∀ x∈ A,x≤ l\) |
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\(\sup A {\gt} l\) |
\(∃ x∈ A,x{\gt} l\) |
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\(\sup A {\lt} l\) |
\(∃ h{\lt}l , ∀ x∈ A,x≤ h\) |
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\(\sup A ≥ l\) |
\(∀ h{\lt}l, ∃ x∈ A,x{\gt} h\) |
la prima e la terza derivano dalla definizione di estremo superiore,
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la seconda e la quarta per negazione; nella terza si può concludere equivalentemente che \(x{\lt}h\), e nella quarta che \(x≥ h\).
Se \(l≠ +∞\) allora usa anche scrivere (sostituendo \(h=l-\varepsilon \))
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\(\sup A {\lt} l\) |
\(∃ \varepsilon {\gt}0 , ∀ x∈ A,x≤ l-\varepsilon \) |
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\(\sup A ≥ l\) |
\(∀ \varepsilon {\gt}0, ∃ x∈ A,x{\gt} l-\varepsilon \) |
[209] Similmente, dato \(A⊆ℝ\) non vuoto, l’estremo inferiore di \(A\) è il massimo dei minoranti; lo indicheremo con la usuale scrittura \(\inf A\). Se \(A\) è inferiormente limitato allora \(\inf A\) è un numero reale; in caso contrario, per convenzione, si pone \(\inf A=-∞\).
[0B5](Proposto il 2022-11-24) Si noti che se si sostituisce \(A\) con
e \(l\) con \( -l\), si passa dalle definizioni del \(\sup \) a quelle del \(\inf \) (e viceversa).
[20B] Sia \(A ⊆ ℝ\) non vuoto, sia \(l∈ℝ∪\{ -∞\} \); valgono le seguenti proprietà:
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\(\inf A ≥ l\) |
\(∀ x∈ A,x≥ l\) |
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\(\inf A {\lt} l\) |
\(∃ x∈ A,x{\lt}l\) |
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\(\inf A {\gt} l\) |
\(∃ h{\gt}l , ∀ x∈ A,x≥ h\) |
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\(\inf A ≤ l\) |
\(∀ h{\gt}l, ∃ x∈ A,x{\lt} h\) |
Se \(l≠ -∞\) allora usa anche scrivere (sostituendo \(h=l+\varepsilon \))
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\(\inf A {\gt} l\) |
\(∃ \varepsilon {\gt}0 , ∀ x∈ A,x≥ l+\varepsilon \) |
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\(\inf A ≤ l\) |
\(∀ \varepsilon {\gt}0, ∃ x∈ A,x≤ l+\varepsilon \) |
[20M](Proposto il 2022-11-24) Preso \(A⊆ℝ\) non vuoto, allora \(\inf A\) è l’unico numero \(𝛼∈ℝ∪\{ -∞\} \) che soddisfa queste due proprietà
[20H] (Svolto il 2022-11-24) Data \(J\) famiglia di indici non vuota, sia \(a_ n∈ℝ\) per \(n∈ J\). Si definiscono gli estremi superiori e inferiori come
dove \(A=\{ a_ n: n∈ J\} \) è l’immagine della successione.
Dato \(D\) non vuoto, sia \(f:D→ℝ\) una funzione. Si definiscono gli estremi superiori e inferiori come
dove \(A=\{ f(x): x∈ D\} \) è l’immagine della funzione.
Esercizi
Siano \(I,J\) generici insiemi non vuoti. Si vedano le definizioni in Sez. 5.3
- E187
[0B6] (Svolto il 2022-11-24) Sia \(a_ n\) una successione a valori reali, per \(n∈ I\) un insieme di indici; siano \(r{\gt}0,t∈ℝ,𝜌{\lt}0\); mostrate che
\[ \sup _{n∈ I}(a_ n+t)=t+\sup _{n∈ I}a_ n~ ~ ,~ ~ \sup _{n∈ I}(r a_ n)=r \sup _{n∈ I}a_ n~ ~ ,~ ~ \sup _{n∈ I}(𝜌 a_ n)= 𝜌 \inf _{n∈ I}a_ n~ ~ . \]Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’22W’]
- E187
[0B7] (Svolto il 2022-11-24) Sia \(a_{n,m}\) una successione reali a due indici \(n∈ I,m∈ J\), mostrate che
\[ \sup _{n∈ I,m∈ J}a_{n,m} = \sup _{n∈ I} \Big(\sup _{m∈ J} a_{n,m} \Big)~ ~ . \]Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0B8’]
- E187
[0B9] Prerequisiti:2,1.(Svolto il 2022-11-24) Siano \(a_ n,b_ n\) successioni reali, per \(n∈ I\), mostrate che
\[ \sup _{n,m∈ I}(a_ n+b_ m) = (\sup _{n∈ I} a_ n) + (\sup _{n∈ I} b_ n)~ ~ , \]ma
\[ \sup _{n∈ I}(a_ n+b_ n)≤ (\sup _{n∈ I} a_ n) + (\sup _{n∈ I} b_ n)~ ~ ; \]trovate un caso in cui la disuguaglianza è stretta. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0BB’]
- E187
[0BC] Prerequisiti:2. Siano \(A,B⊆ ℝ\) e sia
\[ A ⊕ B=\{ x + y : x∈ A, y∈ B\} \]la somma di Minkowski 2 dei due insiemi: mostrate che
\[ \sup (A ⊕ B)=(\sup A) + (\sup B)~ ~ . \]Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0BD’]
- E187
[0BF]Siano \(I_ n⊆ ℝ\) (per \(n∈ℕ\)) intervalli non vuoti chiusi e limitati, tali che \(I_{n+1}⊆ I_ n\): si mostri che \(⋂_{n=0}^∞ I_ n\) è non vuoto.
Questo risultato è noto come “teorema dell’intersezione di Cantor” [ 45 ] . Si estende a contesti più generali, si vedano 9 e 3.
Se sostituiamo \(ℝ\) con \(ℚ\) e assumiamo che \(I_ n⊆ ℚ\), il risultato vale lo stesso?
- E187
[20P](Svolto il 2022-11-24) Si studino le equivalenze in proposizione 181 per il caso in cui \(\sup A=+∞\): cosa dicono le formule a destra?
- E187
[20J]Riscrivete le proprietà della proposizione 185 per i casi visti in 187.
- E187
[20Y](Proposto il 2022-12) Calcolate estremo superiore e inferiore dei seguenti insiemi (dove \(n,m\) sono interi).
\begin{eqnarray*} \left\{ \frac{mn}{m^ 2+n^ 2}: n,m≥ 1 \right\} \quad ,\quad \left\{ \frac{mn}{m+n}: n,m≥ 1 \right\} \\ \left\{ 2^ n+2^ m : n,m∈ℕ \right\} \quad ,\quad \left\{ 2^ n+2^ m: n,m∈ℤ \right\} \\ \left\{ \frac{m^ 2-2} n : n,m∈ℤ,n≠ 0 \right\} \quad ,\quad \left\{ \frac{m+1}{m^ 2} : m∈ℤ,m≠ 0 \right\} \end{eqnarray*}