: Compattezza<a class="btn btn-sm" href="/UUID/EDB/2BF/?lang=ita"><span class="ttfamily"><small class="scriptsize">[2BF]</small></span></a>

7.4 Compattezza[2BF]

Definizione 251

[0J3] Un sottoinsieme $K \subseteq X$ è compatto ¹ se da ogni famiglia di aperti $(A_{i})_{i \in I}$ la cui unione $⋃_{i \in I} A_{i}$ copre $K$ si può scegliere un numero finito $J \subset I$ di aperti la cui unione $⋃_{i \in J} A_{i}$ copre $K$ .

Se formulate questi esercizi in spazi metrici, potete usare il teorema 298 per trattare con gli insiemi compatti.

E251

[0J4] Supponiamo che lo spazio topologico sia compatto. Si mostri che ogni sottoinsieme chiuso è compatto.

E251

[0J5] Supponiamo che lo spazio topologico sia $T_{2}$ (si veda 244). Si mostri che ogni sottoinsieme compatto è chiuso.

E251

[0J6] Argomenti:compatti.Prerequisiti:2. Note:Per il caso reale si può vedere 5. Per il caso di spazi metrici si veda 9..

Sia $(X, 𝜏)$ uno spazio topologico $T_{2}$ e siano $A_{n} \subseteq X$ sottoinsiemi compatti non vuoti tali che $A_{n + 1} \subseteq A_{n}$ : allora $⋂_{n \in ℕ} A_{n} \neq \emptyset$ .

Cosa succede se lo spazio non è $T_{2}$ ? Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0J7’]

E251

[0J8] Prerequisiti:2.Siano $(X, 𝜏)$ e $(Y, 𝜎)$ spazi topologici, con $X$ compatto e $Y$ uno spazio $T_{2}$ . Sia $f : X \to Y$ continua e iniettiva; si mostri che $f$ è un omeomorfismo fra $X$ e la sua immagine $f (X)$ .

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0J9’]

E251

[0JB]Prerequisiti:2.Si mostri che la retta estesa (lo spazio topologico mostrato in 2) è compatta. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0JC’]

E251

[0JD]Prerequisiti:3.Si mostri che la retta compattificata (lo spazio topologico mostrato in 3) è compatta.

Si veda anche l’esercizio 5 per una caratterizzazione degli insiemi compatti tramite le reti.