7.4 Compattezza[2BF]

Definizione 251

[0J3] Un sottoinsieme \(K⊆ X\) è compatto 1 se da ogni famiglia di aperti \((A_ i)_{i∈ I}\) la cui unione \(⋃_{i∈ I}A_ i\) copre \(K\) si può scegliere un numero finito \(J⊂ I\) di aperti la cui unione \(⋃_{i∈ J}A_ i\) copre \(K\).

Se formulate questi esercizi in spazi metrici, potete usare il teorema 298 per trattare con gli insiemi compatti.

E251

[0J4] Supponiamo che lo spazio topologico sia compatto. Si mostri che ogni sottoinsieme chiuso è compatto.

E251

[0J5] Supponiamo che lo spazio topologico sia \(T_ 2\) (si veda 244). Si mostri che ogni sottoinsieme compatto è chiuso.

E251

[0J6] Argomenti:compatti.Prerequisiti:2. Note:Per il caso reale si può vedere 5. Per il caso di spazi metrici si veda 9..

Sia \((X,𝜏)\) uno spazio topologico \(T_ 2\) e siano \(A_ n⊆ X\) sottoinsiemi compatti non vuoti tali che \(A_{n+1}⊆ A_ n\): allora \(⋂_{n∈ℕ} A_ n≠ ∅\).

Cosa succede se lo spazio non è \(T_ 2\)? Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0J7’]

E251

[0J8] Prerequisiti:2.Siano \((X,𝜏)\) e \((Y,𝜎)\) spazi topologici, con \(X\) compatto e \(Y\) uno spazio \(T_ 2\). Sia \(f:X→ Y \) continua e iniettiva; si mostri che \(f\) è un omeomorfismo fra \(X\) e la sua immagine \(f(X)\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0J9’]

E251

[0JB]Prerequisiti:2.Si mostri che la retta estesa (lo spazio topologico mostrato in 2) è compatta. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0JC’]

E251

[0JD]Prerequisiti:3.Si mostri che la retta compattificata (lo spazio topologico mostrato in 3) è compatta.

Si veda anche l’esercizio 5 per una caratterizzazione degli insiemi compatti tramite le reti.

  1. Dalla definizione si ricava che l’insieme vuoto è compatto. Alcuni testo però escludono esplicitamente questo caso.