16 Funzioni derivabili[1C5]
[2D0]Sia nel seguito \(A⊆ ℝ\) un aperto.
Dicendo che \(f:A→ℝ\) è derivabile intenderemo derivabile in ogni punto.
Ricordiamo che, dato \(k≥ 1\) intero, \(f\) è di classe \(C^ k\) se \(f\) è derivabile \(k\)-volte e la derivata \(f^{(k)}\) è continua; e \(f\) è di classe \(C^∞\) se \(f\) è derivabile infinite volte. (Alle volte scriveremo \(f∈ C^ k\) per indicare che \(f\) è di classe \(C^ k\), e \(f∈ C^∞\) se è di classe \(C^∞\) ).
Per poter risolvere i seguenti esercizi potrebbe essere necessario conoscere alcuni risultati fondamentali in Analisi e Calcolo Differenziale, che si possono per esempio trovare in [ 23 , 5 ] ; specificatamente:
il teorema di Lagrange 1 : Teorema 5.10 in [ 23 ] , o [ 65 ] .
la regola di De l’Hôpital, e i suoi corollari: Teorema 5.13 in [ 23 ] , Sez. 7.12 in [ 5 ] o [ 25 , 64 ] ;
il Teorema di Taylor, e le diverse forme dei resti: Teorema 5.15 in [ 23 ] , Cap. 7 in [ 5 ] o [ 66 ] .
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[1C6] Sia \(I⊆ ℝ\) un intervallo aperto. Sia \(f:I→ℝ\) derivabile, e \(x,y∈ I\) con \(x{\lt}y\). Mostrare che se \(f'(x)⋅ f'(y){\lt}0\) allora esiste \(𝜉∈ I\) con \(x{\lt}𝜉{\lt}y\) tale che \(f'(𝜉)=0\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1C7’]
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[1C8] Prerequisiti:1.Note:Proprietà di Darboux.
Sia \(A⊆ ℝ\) un aperto, e sia \(f:A→ℝ\) derivabile; vogliamo mostrare che per ogni intervallo \(I⊂ A\) l’immagine \(f'(I)\) è un intervallo.
Mostrate dunque questo risultato. Per ogni \(x,y∈ I\) con \(x{\lt}y\), poniamo \(a=f'(x), b= f'(y)\); assumiamo per semplicità che \(a{\lt}b\); sia poi \(c\) con \(a{\lt} c {\lt} b\): allora esiste \(𝜉∈ I\) con \(x{\lt}𝜉{\lt}y\) tale che \(f'(𝜉)=c\).
(Mostrate infine che questa proprietà effettivamente implica che l’immagine \(f'(I)\) di un intervallo \(I\) è un intervallo).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1C9’]
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Sia \(I⊆ ℝ\) un intervallo aperto. Sia \(f:I→ℝ\) derivabile e tale che \(f'(t)≠ 0\) per ogni \(t∈ I\): mostrate allora che \(f'(t)\) ha sempre lo stesso segno.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CC’]
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[1CD] Prerequisiti:2.Difficoltà:*.
Si trovi una funzione \(f:ℝ→ℝ\) limitata che mappa intervalli in intervalli, ma per cui non esiste \(g:ℝ→ℝ\) derivabile in ogni punto e con \(f=g'\).
(Notate che \(f\) non può essere continua, per via del Teorema Fondamentale del Calcolo).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CF’]
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[1CG]Sia \(f:ℝ→ℝ\) derivabile , con \(f'=f\): si mostri in maniera elementare che esiste \(𝜆∈ℝ\) t.c. \(f(x) = 𝜆 e^ x\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CH’]
- E377
[1CJ] Si trovi una \(f:ℝ→ℝ\) derivabile la cui derivata sia limitata ma non sia continua. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CK’]
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[1CM]Si trovi una \(f:[-1,1]→ℝ\) continua e derivabile 2 la cui derivata sia illimitata. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CN’]
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[1CP] Difficoltà:*.Si trovi una funzione \(f:ℝ→ℝ\) derivabile e tale che l’immagine di \([0,1]\) secondo \(f'\) è \(f'([0,1])=(-1,1)\).
Prima di cercare l’esempio, fate questa riflessione. Ricordiamo la proprietà di Darboux 2: l’immagine di un intervallo \(I\) secondo \(f'\) è un intervallo \(f'(I)\); questa non dice però che l’immagine di \(f'([0,1])\) debba essere un intervallo chiuso e limitato. Se però si sapesse inoltre che \(f'\) è continua, cosa potreste dire di \(f'([0,1])\)? Cosa ne deducete a priori dunque sull’esempio cercato?
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CQ’]
- E377
[1CV]Sia \(I=(a,b)⊂ℝ\) un intervallo aperto. Sia \(f:I→ℝ\) derivabile: mostrare che \(f'\) è continua se e solo se per ogni \(x\)
\[ f'(x) = \lim _{(s,t)→ (x,x), s≠ t} \frac{f(t)-f(s)}{t-s} ~ . \]Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CW’]
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[1CX]Sia f derivabile in \((a, b)\) sia \(x_ 0 ∈ (a, b)\) e \(x_ 0 {\lt} 𝛼_ n {\lt} 𝛽_ n , 𝛽_ n → x_ 0\) per \(n →∞\). Si mostri che se la successione \(\frac{𝛽_ n - x_ 0}{𝛽_ n - 𝛼_ n}\) è limitata allora
\[ \frac{f (𝛽_ n ) - f (𝛼_ n )}{𝛽_ n - 𝛼_ n}→_ n f' (x_ 0 ) \]Si mostri con un esempio che tale conclusione è falsa se la condizione data non è verificata. [UNACCESSIBLE UUID ’1CY’]
[UNACCESSIBLE UUID ’1D0’] [1D1]Prerequisiti:2.Siano \(f, g : ℝ → ℝ\) due funzioni derivabili in ogni punto. Si mostri che \(\max \{ f, g\} \) è derivabile salvo su un insieme al più numerabile. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1D2’][UNACCESSIBLE UUID ’1D3’] [1D4]Sia \(f : (a, b) → ℝ\) derivabile e tale che se \(f (t) = 0\) allora \(f' (t) = 0\). Mostrare che la funzione \(g(t) = |f (t)|\) è derivabile. [UNACCESSIBLE UUID ’1D5’] Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1D6’] [1D7]Sia \(p(x) = a_ n x^ n + a_{n-1} x^{n-1} + . . . + a_ 0\) un polinomio con tutte radici reali e coefficienti tutti non nulli. Si mostri che il numero di radici positive (contate con molteplicità) è uguale al numero di cambiamenti di segno nella successione dei coefficienti di \(p\). (Sugg. si ragioni per induzione su \(n\), utilizzando il fatto che tra due radici consecutive di \(p\) esiste una radice di \(p'\).) Questo risultato è noto come Criterio di Cartesio. [UNACCESSIBLE UUID ’1D8’] [1D9]Sia \(f:ℝ→ℝ\) continua e derivabile, e \(a,b∈ℝ\) con \(a{\lt}b\). Mostrare che se \(f'(a)=f'(b)\) allora esiste \(𝜉\) con \(a{\lt}𝜉{\lt}b\) tale che