16 Funzioni derivabili[1C5]

Definizione 377

[2D0]Sia nel seguito A un aperto.

Dicendo che f:A è derivabile intenderemo derivabile in ogni punto.

Ricordiamo che, dato k1 intero, f è di classe Ck se f è derivabile k-volte e la derivata f(k) è continua; e f è di classe C se f è derivabile infinite volte. (Alle volte scriveremo fCk per indicare che f è di classe Ck, e fC se è di classe C ).

Per poter risolvere i seguenti esercizi potrebbe essere necessario conoscere alcuni risultati fondamentali in Analisi e Calcolo Differenziale, che si possono per esempio trovare in [ 23 , 5 ] ; specificatamente:

  • il teorema di Lagrange  1  : Teorema 5.10 in [ 23 ] , o [ 65 ] .

  • la regola di De l’Hôpital, e i suoi corollari: Teorema 5.13 in [ 23 ] , Sez. 7.12 in [ 5 ] o [ 25 , 64 ] ;

  • il Teorema di Taylor, e le diverse forme dei resti: Teorema 5.15 in [ 23 ] , Cap. 7 in [ 5 ] o [ 66 ] .

E377

[1C6] Sia I un intervallo aperto. Sia f:I derivabile, e x,yI con x<y. Mostrare che se f(x)f(y)<0 allora esiste 𝜉I con x<𝜉<y tale che f(𝜉)=0. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1C7’]

E377

[1C8] Prerequisiti:1.Note:Proprietà di Darboux.

Sia A un aperto, e sia f:A derivabile; vogliamo mostrare che per ogni intervallo IA l’immagine f(I) è un intervallo.

Mostrate dunque questo risultato. Per ogni x,yI con x<y, poniamo a=f(x),b=f(y); assumiamo per semplicità che a<b; sia poi c con a<c<b: allora esiste 𝜉I con x<𝜉<y tale che f(𝜉)=c.

(Mostrate infine che questa proprietà effettivamente implica che l’immagine f(I) di un intervallo I è un intervallo).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1C9’]

E377

[1CB] Prerequisiti:2.

Sia I un intervallo aperto. Sia f:I derivabile e tale che f(t)0 per ogni tI: mostrate allora che f(t) ha sempre lo stesso segno.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CC’]

E377

[1CD] Prerequisiti:2.Difficoltà:*.

Si trovi una funzione f: limitata che mappa intervalli in intervalli, ma per cui non esiste g: derivabile in ogni punto e con f=g.

(Notate che f non può essere continua, per via del Teorema Fondamentale del Calcolo).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CF’]

E377

[1CG]Sia f: derivabile , con f=f: si mostri in maniera elementare che esiste 𝜆 t.c. f(x)=𝜆ex. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CH’]

E377

[1CJ] Si trovi una f: derivabile la cui derivata sia limitata ma non sia continua. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CK’]

E377

[1CM]Si trovi una f:[1,1] continua e derivabile 2 la cui derivata sia illimitata. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CN’]

E377

[1CP] Difficoltà:*.Si trovi una funzione f: derivabile e tale che l’immagine di [0,1] secondo f è f([0,1])=(1,1).

Prima di cercare l’esempio, fate questa riflessione. Ricordiamo la proprietà di Darboux 2: l’immagine di un intervallo I secondo f è un intervallo f(I); questa non dice però che l’immagine di f([0,1]) debba essere un intervallo chiuso e limitato. Se però si sapesse inoltre che f è continua, cosa potreste dire di f([0,1])? Cosa ne deducete a priori dunque sull’esempio cercato?

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CQ’]

E377

[1CV]Sia I=(a,b) un intervallo aperto. Sia f:I derivabile: mostrare che f è continua se e solo se per ogni x

f(x)=lim(s,t)(x,x),stf(t)f(s)ts .

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CW’]

E377

[1CX]Sia f derivabile in (a,b) sia x0(a,b) e x0<𝛼n<𝛽n,𝛽nx0 per n. Si mostri che se la successione 𝛽nx0𝛽n𝛼n è limitata allora

f(𝛽n)f(𝛼n)𝛽n𝛼nnf(x0)

Si mostri con un esempio che tale conclusione è falsa se la condizione data non è verificata. [UNACCESSIBLE UUID ’1CY’]

[1CZ]Si supponga che una data funzione f:(a,b)R sia derivabile in ogni punto di (a,b) tranne che in x0, e che esista finito il limite limtx0f(t). Si mostri che f è derivabile anche in x0 e che f(x0)=limtx0f(t).

[UNACCESSIBLE UUID ’1D0’] [1D1]Prerequisiti:2.Siano f,g: due funzioni derivabili in ogni punto. Si mostri che max{f,g} è derivabile salvo su un insieme al più numerabile. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1D2’][UNACCESSIBLE UUID ’1D3’] [1D4]Sia f:(a,b) derivabile e tale che se f(t)=0 allora f(t)=0. Mostrare che la funzione g(t)=|f(t)| è derivabile. [UNACCESSIBLE UUID ’1D5’] Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1D6’] [1D7]Sia p(x)=anxn+an1xn1+...+a0 un polinomio con tutte radici reali e coefficienti tutti non nulli. Si mostri che il numero di radici positive (contate con molteplicità) è uguale al numero di cambiamenti di segno nella successione dei coefficienti di p. (Sugg. si ragioni per induzione su n, utilizzando il fatto che tra due radici consecutive di p esiste una radice di p.) Questo risultato è noto come Criterio di Cartesio. [UNACCESSIBLE UUID ’1D8’] [1D9]Sia f: continua e derivabile, e a,b con a<b. Mostrare che se f(a)=f(b) allora esiste 𝜉 con a<𝜉<b tale che

f(𝜉)=f(𝜉)f(a)𝜉a  .

[UNACCESSIBLE UUID ’1DB’] [UNACCESSIBLE UUID ’1DC’]

  1. Anche noto come Teorema del valor medio o Teorema dell’incremento finito.
  2. Si intende: la derivata f(x) esiste ed è finita per ogni x[1,1]; agli estremi x=1,1 si calcolano solo le derivate destra e rispettivamente sinistra.