16 Funzioni derivabili[1C5]
[2D0]Sia nel seguito
Dicendo che
Ricordiamo che, dato
Per poter risolvere i seguenti esercizi potrebbe essere necessario conoscere alcuni risultati fondamentali in Analisi e Calcolo Differenziale, che si possono per esempio trovare in [ 23 , 5 ] ; specificatamente:
il teorema di Lagrange 1 : Teorema 5.10 in [ 23 ] , o [ 65 ] .
la regola di De l’Hôpital, e i suoi corollari: Teorema 5.13 in [ 23 ] , Sez. 7.12 in [ 5 ] o [ 25 , 64 ] ;
il Teorema di Taylor, e le diverse forme dei resti: Teorema 5.15 in [ 23 ] , Cap. 7 in [ 5 ] o [ 66 ] .
- E377
[1C6] Sia
un intervallo aperto. Sia derivabile, e con . Mostrare che se allora esiste con tale che . Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1C7’]- E377
[1C8] Prerequisiti:1.Note:Proprietà di Darboux.
Sia
un aperto, e sia derivabile; vogliamo mostrare che per ogni intervallo l’immagine è un intervallo.Mostrate dunque questo risultato. Per ogni
con , poniamo ; assumiamo per semplicità che ; sia poi con : allora esiste con tale che .(Mostrate infine che questa proprietà effettivamente implica che l’immagine
di un intervallo è un intervallo).Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1C9’]
- E377
-
Sia
un intervallo aperto. Sia derivabile e tale che per ogni : mostrate allora che ha sempre lo stesso segno.Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CC’]
- E377
[1CD] Prerequisiti:2.Difficoltà:*.
Si trovi una funzione
limitata che mappa intervalli in intervalli, ma per cui non esiste derivabile in ogni punto e con .(Notate che
non può essere continua, per via del Teorema Fondamentale del Calcolo).Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CF’]
- E377
[1CG]Sia
derivabile , con : si mostri in maniera elementare che esiste t.c. . Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CH’]- E377
[1CJ] Si trovi una
derivabile la cui derivata sia limitata ma non sia continua. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CK’]- E377
[1CM]Si trovi una
continua e derivabile 2 la cui derivata sia illimitata. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CN’]- E377
[1CP] Difficoltà:*.Si trovi una funzione
derivabile e tale che l’immagine di secondo è .Prima di cercare l’esempio, fate questa riflessione. Ricordiamo la proprietà di Darboux 2: l’immagine di un intervallo
secondo è un intervallo ; questa non dice però che l’immagine di debba essere un intervallo chiuso e limitato. Se però si sapesse inoltre che è continua, cosa potreste dire di ? Cosa ne deducete a priori dunque sull’esempio cercato?Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CQ’]
- E377
[1CV]Sia
un intervallo aperto. Sia derivabile: mostrare che è continua se e solo se per ogniSoluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CW’]
- E377
[1CX]Sia f derivabile in
sia e per . Si mostri che se la successione è limitata alloraSi mostri con un esempio che tale conclusione è falsa se la condizione data non è verificata. [UNACCESSIBLE UUID ’1CY’]
[UNACCESSIBLE UUID ’1D0’] [1D1]Prerequisiti:2.Siano