17 Funzioni derivabili[1C5]
[2D0]Sia nel seguito \(A⊆ ℝ\) un aperto.
Dicendo che \(f:A→ℝ\) è derivabile intenderemo derivabile in ogni punto.
Ricordiamo che, dato \(k≥ 1\) intero, \(f\) è di classe \(C^ k\) se \(f\) è derivabile \(k\)-volte e la derivata \(f^{(k)}\) è continua; e \(f∈ C^∞\) se \(f\) è derivabile infinite volte. (Alle volte scriveremo \(f∈ C^ k\) per indicare che \(f\) è di classe \(C^ k\)).
Per poter risolvere i seguenti esercizi potrebbe essere necessario conoscere alcuni risultati fondamentali in Analisi e Calcolo Differenziale, che si possono per esempio trovare in [ 23 , 5 ] ; specificatamente:
il teorema di Lagrange 1 : Teorema 5.10 in [ 23 ] , o [ 65 ] .
la regola di De l’Hôpital, e i suoi corollari: Teorema 5.13 in [ 23 ] , Sez. 7.12 in [ 5 ] o [ 25 , 64 ] ;
il Teorema di Taylor, e le diverse forme dei resti: Teorema 5.15 in [ 23 ] , Cap. 7 in [ 5 ] o [ 66 ] .
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[1C6] Sia \(I⊆ ℝ\) un intervallo aperto. Sia \(f:I→ℝ\) derivabile, e \(x,y∈ I\) con \(x{\lt}y\). Mostrare che se \(f'(x)⋅ f'(y){\lt}0\) allora esiste \(𝜉∈ I\) con \(x{\lt}𝜉{\lt}y\) tale che \(f'(𝜉)=0\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1C7’]
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[1C8] Prerequisiti:1.Note:Proprietà di Darboux.
Sia \(A⊆ ℝ\) un aperto, e sia \(f:A→ℝ\) derivabile; vogliamo mostrare che per ogni intervallo \(I⊂ A\) l’immagine \(f'(I)\) è un intervallo.
Mostrate dunque questo risultato. Per ogni \(x,y∈ I\) con \(x{\lt}y\), poniamo \(a=f'(x), b= f'(y)\); assumiamo per semplicità che \(a{\lt}b\); sia poi \(c\) con \(a{\lt} c {\lt} b\): allora esiste \(𝜉∈ I\) con \(x{\lt}𝜉{\lt}y\) tale che \(f'(𝜉)=c\).
(Mostrate infine che questa proprietà effettivamente implica che l’immagine \(f'(I)\) di un intervallo \(I\) è un intervallo).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1C9’]
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Sia \(I⊆ ℝ\) un intervallo aperto. Sia \(f:I→ℝ\) derivabile e tale che \(f'(t)≠ 0\) per ogni \(t∈ I\): mostrate allora che \(f'(t)\) ha sempre lo stesso segno.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CC’]
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[1CD] Prerequisiti:2.Difficoltà:*.
Si trovi una funzione \(f:ℝ→ℝ\) limitata che mappa intervalli in intervalli, ma per cui non esiste \(g:ℝ→ℝ\) derivabile in ogni punto e con \(f=g'\).
(Notate che \(f\) non può essere continua, per via del Teorema Fondamentale del Calcolo).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CF’]
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[1CG]Sia \(f:ℝ→ℝ\) derivabile , con \(f'=f\): si mostri in maniera elementare che esiste \(𝜆∈ℝ\) t.c. \(f(x) = 𝜆 e^ x\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CH’]
- E378
[1CJ] Si trovi una \(f:ℝ→ℝ\) derivabile la cui derivata sia limitata ma non sia continua. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CK’]
- E378
[1CM]Si trovi una \(f:[-1,1]→ℝ\) continua e derivabile 2 la cui derivata sia illimitata. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CN’]
- E378
[1CP] Difficoltà:*.Si trovi una funzione \(f:ℝ→ℝ\) derivabile e tale che l’immagine di \([0,1]\) secondo \(f'\) è \(f'([0,1])=(-1,1)\).
Prima di cercare l’esempio, fate questa riflessione. Ricordiamo la proprietà di Darboux 2: l’immagine di un intervallo \(I\) secondo \(f'\) è un intervallo \(f'(I)\); questa non dice però che l’immagine di \(f'([0,1])\) debba essere un intervallo chiuso e limitato. Se però si sapesse inoltre che \(f'\) è continua, cosa potreste dire di \(f'([0,1])\)? Cosa ne deducete a priori dunque sull’esempio cercato?
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CQ’]
- E378
[1CV]Sia \(I=(a,b)⊂ℝ\) un intervallo aperto. Sia \(f:I→ℝ\) derivabile: mostrare che \(f'\) è continua se e solo se per ogni \(x\)
\[ f'(x) = \lim _{(s,t)→ (x,x), s≠ t} \frac{f(t)-f(s)}{t-s} ~ . \]Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CW’]
- E378
[1CX]Sia f derivabile in \((a, b)\) sia \(x_ 0 ∈ (a, b)\) e \(x_ 0 {\lt} 𝛼_ n {\lt} 𝛽_ n , 𝛽_ n → x_ 0\) per \(n →∞\). Si mostri che se la successione \(\frac{𝛽_ n - x_ 0}{𝛽_ n - 𝛼_ n}\) è limitata allora
\[ \frac{f (𝛽_ n ) - f (𝛼_ n )}{𝛽_ n - 𝛼_ n}→_ n f' (x_ 0 ) \]Si mostri con un esempio che tale conclusione è falsa se la condizione data non è verificata. [UNACCESSIBLE UUID ’1CY’]
[UNACCESSIBLE UUID ’1D0’] [1D1]Prerequisiti:2.Siano \(f, g : ℝ → ℝ\) due funzioni derivabili in ogni punto. Si mostri che \(\max \{ f, g\} \) è derivabile salvo su un insieme al più numerabile. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1D2’][UNACCESSIBLE UUID ’1D3’] [1D4]Sia \(f : (a, b) → ℝ\) derivabile e tale che se \(f (t) = 0\) allora \(f' (t) = 0\). Mostrare che la funzione \(g(t) = |f (t)|\) è derivabile. [UNACCESSIBLE UUID ’1D5’] Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1D6’] [1D7]Sia \(p(x) = a_ n x^ n + a_{n-1} x^{n-1} + . . . + a_ 0\) un polinomio con tutte radici reali e coefficienti tutti non nulli. Si mostri che il numero di radici positive (contate con molteplicità) è uguale al numero di cambiamenti di segno nella successione dei coefficienti di \(p\). [Sugg. si ragioni per induzione su \(n\), utilizzando il fatto che tra due radici consecutive di \(p\) esiste una radice di \(p'\) .] Questo risultato è noto come Criterio di Cartesio. [UNACCESSIBLE UUID ’1D8’] [1D9]Sia \(f:ℝ→ℝ\) continua e derivabile, e \(a,b∈ℝ\) con \(a{\lt}b\). Mostrare che se \(f'(a)=f'(b)\) allora esiste \(𝜉\) con \(a{\lt}𝜉{\lt}b\) tale che