16 Funzioni derivabili[1C5]

Definizione 377

[2D0]Sia nel seguito $A \subseteq ℝ$ un aperto.

Dicendo che $f : A \to ℝ$ è derivabile intenderemo derivabile in ogni punto.

Ricordiamo che, dato $k \geq 1$ intero, $f$ è di classe $C^{k}$ se $f$ è derivabile $k$ -volte e la derivata $f^{(k)}$ è continua; e $f$ è di classe $C^{\infty}$ se $f$ è derivabile infinite volte. (Alle volte scriveremo $f \in C^{k}$ per indicare che $f$ è di classe $C^{k}$ , e $f \in C^{\infty}$ se è di classe $C^{\infty}$ ).

Per poter risolvere i seguenti esercizi potrebbe essere necessario conoscere alcuni risultati fondamentali in Analisi e Calcolo Differenziale, che si possono per esempio trovare in [ 23 , 5 ] ; specificatamente:

il teorema di Lagrange ¹ : Teorema 5.10 in [ 23 ] , o [ 65 ] .
la regola di De l’Hôpital, e i suoi corollari: Teorema 5.13 in [ 23 ] , Sez. 7.12 in [ 5 ] o [ 25 , 64 ] ;
il Teorema di Taylor, e le diverse forme dei resti: Teorema 5.15 in [ 23 ] , Cap. 7 in [ 5 ] o [ 66 ] .

E377

[1C6] Sia $I \subseteq ℝ$ un intervallo aperto. Sia $f : I \to ℝ$ derivabile, e $x, y \in I$ con $x < y$ . Mostrare che se $f^{'} (x) \cdot f^{'} (y) < 0$ allora esiste $𝜉 \in I$ con $x < 𝜉 < y$ tale che $f^{'} (𝜉) = 0$ . Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1C7’]

E377

[1C8] Prerequisiti:1.Note:Proprietà di Darboux.

Sia $A \subseteq ℝ$ un aperto, e sia $f : A \to ℝ$ derivabile; vogliamo mostrare che per ogni intervallo $I \subset A$ l’immagine $f^{'} (I)$ è un intervallo.

Mostrate dunque questo risultato. Per ogni $x, y \in I$ con $x < y$ , poniamo $a = f^{'} (x), b = f^{'} (y)$ ; assumiamo per semplicità che $a < b$ ; sia poi $c$ con $a < c < b$ : allora esiste $𝜉 \in I$ con $x < 𝜉 < y$ tale che $f^{'} (𝜉) = c$ .

(Mostrate infine che questa proprietà effettivamente implica che l’immagine $f^{'} (I)$ di un intervallo $I$ è un intervallo).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1C9’]

E377

[1CB] Prerequisiti:2.

Sia $I \subseteq ℝ$ un intervallo aperto. Sia $f : I \to ℝ$ derivabile e tale che $f^{'} (t) \neq 0$ per ogni $t \in I$ : mostrate allora che $f^{'} (t)$ ha sempre lo stesso segno.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CC’]

E377

[1CD] Prerequisiti:2.Difficoltà:*.

Si trovi una funzione $f : ℝ \to ℝ$ limitata che mappa intervalli in intervalli, ma per cui non esiste $g : ℝ \to ℝ$ derivabile in ogni punto e con $f = g^{'}$ .

(Notate che $f$ non può essere continua, per via del Teorema Fondamentale del Calcolo).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CF’]

E377

[1CG]Sia $f : ℝ \to ℝ$ derivabile , con $f^{'} = f$ : si mostri in maniera elementare che esiste $𝜆 \in ℝ$ t.c. $f (x) = 𝜆 e^{x}$ . Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CH’]

E377

[1CJ] Si trovi una $f : ℝ \to ℝ$ derivabile la cui derivata sia limitata ma non sia continua. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CK’]

E377

[1CM]Si trovi una $f : [- 1, 1] \to ℝ$ continua e derivabile ² la cui derivata sia illimitata. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CN’]

E377

[1CP] Difficoltà:*.Si trovi una funzione $f : ℝ \to ℝ$ derivabile e tale che l’immagine di $[0, 1]$ secondo $f^{'}$ è $f^{'} ([0, 1]) = (- 1, 1)$ .

Prima di cercare l’esempio, fate questa riflessione. Ricordiamo la proprietà di Darboux 2: l’immagine di un intervallo $I$ secondo $f^{'}$ è un intervallo $f^{'} (I)$ ; questa non dice però che l’immagine di $f^{'} ([0, 1])$ debba essere un intervallo chiuso e limitato. Se però si sapesse inoltre che $f^{'}$ è continua, cosa potreste dire di $f^{'} ([0, 1])$ ? Cosa ne deducete a priori dunque sull’esempio cercato?

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CQ’]

E377

[1CV]Sia $I = (a, b) \subset ℝ$ un intervallo aperto. Sia $f : I \to ℝ$ derivabile: mostrare che $f^{'}$ è continua se e solo se per ogni $x$

f^{'} (x) = lim_{(s, t) \to (x, x), s \neq t} \frac{f (t) - f (s)}{t - s} .

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1CW’]

E377

[1CX]Sia f derivabile in $(a, b)$ sia $x_{0} \in (a, b)$ e $x_{0} < 𝛼_{n} < 𝛽_{n}, 𝛽_{n} \to x_{0}$ per $n \to \infty$ . Si mostri che se la successione $\frac{𝛽_{n} - x_{0}}{𝛽_{n} - 𝛼_{n}}$ è limitata allora

\frac{f (𝛽_{n}) - f (𝛼_{n})}{𝛽_{n} - 𝛼_{n}} \to_{n} f^{'} (x_{0})

Si mostri con un esempio che tale conclusione è falsa se la condizione data non è verificata. [UNACCESSIBLE UUID ’1CY’]

[1CZ]Si supponga che una data funzione

f : (a, b) \to R

sia derivabile in ogni punto di

(a, b)

tranne che in

x_{0}

, e che esista finito il limite

lim_{t \to x_{0}} f (t)

. Si mostri che f è derivabile anche in

x_{0}

e che

f (x_{0}) = lim_{t \to x_{0}} f (t)

[UNACCESSIBLE UUID ’1D0’] [1D1]Prerequisiti:2.Siano $f, g : ℝ \to ℝ$ due funzioni derivabili in ogni punto. Si mostri che $max {f, g}$ è derivabile salvo su un insieme al più numerabile. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1D2’][UNACCESSIBLE UUID ’1D3’] [1D4]Sia $f : (a, b) \to ℝ$ derivabile e tale che se $f (t) = 0$ allora $f^{'} (t) = 0$ . Mostrare che la funzione $g (t) = | f (t) |$ è derivabile. [UNACCESSIBLE UUID ’1D5’] Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1D6’] [1D7]Sia $p (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + . . . + a_{0}$ un polinomio con tutte radici reali e coefficienti tutti non nulli. Si mostri che il numero di radici positive (contate con molteplicità) è uguale al numero di cambiamenti di segno nella successione dei coefficienti di $p$ . (Sugg. si ragioni per induzione su $n$ , utilizzando il fatto che tra due radici consecutive di $p$ esiste una radice di $p^{'}$ .) Questo risultato è noto come Criterio di Cartesio. [UNACCESSIBLE UUID ’1D8’] [1D9]Sia $f : ℝ \to ℝ$ continua e derivabile, e $a, b \in ℝ$ con $a < b$ . Mostrare che se $f^{'} (a) = f^{'} (b)$ allora esiste $𝜉$ con $a < 𝜉 < b$ tale che

f^{'} (𝜉) = \frac{f (𝜉) - f (a)}{𝜉 - a} .

[UNACCESSIBLE UUID ’1DB’] [UNACCESSIBLE UUID ’1DC’]