20 Funzioni analitiche[1N4]
La teoria necessaria per lo svolgimento dei successivi esercizi si può trovare nel Cap. 6 di [ 3 ] o Cap. 8 di [ 23 ] .
- E412
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Si verifichi che la funzione \(𝜑:ℝ→ℝ\)
\[ 𝜑(x) = \begin{cases} e^{-1/x} & se ~ x{\gt}0 \\ 0 & se ~ x≤ 0 \end{cases} \](vista anche in 4) non è analitica.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1N6’]
- E412
[1N7] Note:Esercizio 2 del compito Marzo 2010.
Sia \(I⊆ ℝ\) intervallo aperto non vuoto. Sia \(f:I→ℝ\) di classe \(C^∞\) tale che \(∀ x∈ I,∀ k≥ 0\), si ha \(f^{(k)}(x)≥ 0\): si mostri che \(f\) è analitica.
[UNACCESSIBLE UUID ’1NB’] [1NC]Prerequisiti:1.
Sia \(f(x)=\frac 1{1+x^ 2}\), si mostri che è analitica su tutto \(ℝ\), ma il raggio di convergenza dello sviluppo in serie di Taylor centrato in \(x_ 0\) è \(\sqrt{1+x_ 0^ 2}\).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1ND’][UNACCESSIBLE UUID ’1NF’]
Studiate similmente anche \(f(x)=\sqrt{x^ 2+1}\) oppure \(f(x)=e^{1/(x^ 2+1)}\). [1NG] Sia \(f:ℝ→ℝ\) una funzione di classe \(C^∞\); sia \(x_ 0∈ ℝ\) e sia
la serie di Taylor; supponiamo che \(g\) abbia raggio di convergenza \(R{\gt}0\): dunque \(g:J→ℝ\) è un funzione ben definita, dove \(J=(x_ 0-R,x_ 0+R)\). Può succedere che \(f(x)≠ g(x)\) per un punto \(x∈ J\)?
E se \(f\) è analitica? 1
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1NH’] [1NJ]Sia \(I⊆ ℝ\) intervallo aperto non vuoto. Sia \(f:I→ ℝ\) di classe \(C^∞\). Sia
se
allora \(f\) è analitica.
Mostrate con un semplice esempio che la richiesta non è necessaria.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1NK’][UNACCESSIBLE UUID ’1NM’] [1NN]Note:Esercizio 1 Compito 30 Giugno 2017.
Sia \(f\) una funzione continua sull’intervallo \([0, 1]\). Si dimostri che la funzione
è analitica su \(ℝ\).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1NP’] [1NQ] Sia \(I=(0,1)\), si trovi un esempio di una funzione analitica \(f:I→ℝ\) non identicamente zero, ma tale che \(A=\{ x∈ I:f(x)=0\} \) abbia un punto di accumulazione in \(ℝ\). Si confronti questo esempio con la Prop. 6.8.4 negli appunti [ 3 ] ; e con l’esempio 8.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1NR’]