10.12 Prodotto di infiniti spazi metrici

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[0W9] Prerequisiti:5.Sia \(𝜑(t)=t/(1+t)\). Siano \((X_ i,d_ i)\) spazi metrici con \(i∈ℕ\), sia \(X=∏_{i∈ℕ} X_ i\), prese \(f,g∈ X\) definiamo la distanza su \(X\) come

\[ d(f,g) =∑_{k=0}^∞ 2^{-k}𝜑(d_ i(f(k),g(k))) ~ . \]

Si dimostri che \(d\) è una distanza.

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[0WB] Siano \(f,f_ n∈ X \) come prima in 1, si mostri che \(f_ n→_ n f\) secondo questa metrica se e solo se per ogni \(k\) si ha \(f_ n(k)→_ n f(k)\).

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[0WC]Siano \((X_ i,d_ i)\) e \((X,d)\) come prima in 1. Se tutti gli spazi \((X_ i,d_ i)\) sono completi, si provi che \((X,d)\) è completo.

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[0WD] Prerequisiti:5,2.Difficoltà:*.Siano \((X_ i,d_ i)\) e \((X,d)\) come prima in 1. Se tutti gli spazi \((X_ i,d_ i)\) sono compatti, si provi che \((X,d)\) è compatto. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0WF’]

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[0WG]Prerequisiti:4.Vogliamo definire una distanza per lo spazio delle successioni. Procediamo come in 1. Scegliamo \(X_ i=ℝ\) per ogni \(i\) e decidiamo che \(d_ i\) sia la distanza Euclidea, poi per \(f,g:ℕ→ℝ\) definiamo

\[ d(f,g) =∑_ k 2^{-k}𝜑(|f(k)-g(k)|) ~ . \]

Abbiamo costruito uno spazio metrico delle successioni \((ℝ^ℕ,d)\).

Nello spazio delle successioni \((ℝ^ℕ,d)\) definiamo

\[ K=\{ f∈ℝ^ℕ, ∀ k, |f(k)|≤ 1 \} \quad . \]

Si mostri che \(K\) è compatto. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0WH’]

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[0WJ]Sia \(N(𝜌)\) il minimo numero di palle di raggio \(𝜌\) che sono necessarie per coprire \(K\) (dall’esercizio precedente 5). Si stimi \(N(𝜌)\) per \(𝜌→ 0\).

Si veda anche la Sez. 11