8.2 Insieme di Cantor

Sia nel seguito $C\subset ℝ$ l’insieme ternario di Cantor. Non riportiamo qui la costruzione (che si trova su innumerevoli testi, ad esempio in Sez. 2.44 in [ 23 ] ; e anche su Wikipedia [ 53 ] ).

E273

[09S](Replaces 0W4) Mostrate che $C$ è chiuso, e composto solo di punti di accumulazione; dunque è un insieme perfetto.

E273

[09T] Sia $I=\{0,2\}$ e $X=I^{\mathbb{N}}$, si consideri la mappa $F:X\to C$ data da

$$F(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }{3}^{-n-1}{x}_n.$$

Si mostri che è una bigezione.

Dotiamo ora $X$ della topologia definita in 265.  ¹ . Si mostri che $F$ è un omeomorfismo.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’09V’]

Si vedano anche 2, 4, 3.

[UNACCESSIBLE UUID ’09W’]